点分治复习笔记

1.Tree

Description:

求一棵树中长度不超过\(K\)的路径条数

Solution:

直接统计深度,由于深度的贡献具有单调性

考虑每次统计答案时先排序,然后双指针每次相减

这样就比\(n^2\)统计优秀多了,记得要减掉算重的

2.[模版]点分治1

Description:

求一棵树中是否存在长度为\(K\)的链,\(m\)组询问,\(m \le 100\)

Solution:

考虑每次用桶把路径长度标记,把所有询问在桶里查一遍,再清空桶

复杂度\(O(nmlog^2n)\)

#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ls p<<1 
#define rs p<<1|1
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mxn=1e5+5,inf=1e7;
int n,m,s,rt,cnt,tot,sumsz,f[mxn],hd[mxn],sz[mxn],vis[mxn],dis[mxn],ask[mxn],ans[mxn],tag[mxn],dep[mxn],bac[inf+5];

inline int read() {
    char c=getchar(); int x=0,f=1;
    while(c>'9'||c<'0') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while(c<='9'&&c>='0') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15);c=getchar();}
    return x*f;
}
inline void chkmax(int &x,int y) {if(x<y) x=y;}
inline void chkmin(int &x,int y) {if(x>y) x=y;}

struct ed {
    int to,nxt,w;
}t[mxn<<1];

inline void add(int u,int v,int w) {
    t[++cnt]=(ed) {v,hd[u],w}; hd[u]=cnt;
}

int getrt(int u,int fa) {
    sz[u]=1; f[u]=0;
    for(int i=hd[u];i;i=t[i].nxt) {
        int v=t[i].to;
        if(v==fa||vis[v]) continue ;
        getrt(v,u); sz[u]+=sz[v];
        chkmax(f[u],sz[v]);
    }
    chkmax(f[u],sumsz-sz[u]);
    if(f[u]<f[rt]) rt=u;
}

void getdis(int u,int fa) {
    dis[++tot]=dep[u];
    for(int i=hd[u];i;i=t[i].nxt) {
        int v=t[i].to;
        if(v==fa||vis[v]) continue ;
        dep[v]=dep[u]+t[i].w; getdis(v,u); 
    }
}

void cal(int u) {
    s=0;
    for(int i=hd[u];i;i=t[i].nxt) {
        int v=t[i].to;
        if(vis[v]) continue ;
        dep[v]=t[i].w; tot=0; getdis(v,u);
        for(int j=1;j<=m;++j) {
            for(int k=1;k<=tot;++k) {
                if(dis[k]>ask[j]) break ;
                ans[j]|=bac[ask[j]-dis[k]];
            }
        }
        for(int k=1;k<=tot;++k) 
            if(dis[k]<=inf) bac[dis[k]]=1,tag[++s]=dis[k];
    }
    for(int i=1;i<=s;++i) bac[tag[i]]=0; bac[0]=1;
}

void solve(int u) {
    vis[u]=1; cal(u); 
    for(int i=hd[u];i;i=t[i].nxt) {
        int v=t[i].to;
        if(vis[v]) continue ;
        sumsz=sz[v]; rt=0; 
        getrt(v,u); solve(rt);
    }
}

int main()
{
    n=read(); m=read(); int u,v,w; bac[0]=1; 
    for(int i=1;i<n;++i) {
        u=read(); v=read(); w=read();
        add(u,v,w); add(v,u,w);
    }
    for(int i=1;i<=m;++i) ask[i]=read();
    rt=0; sumsz=f[0]=n; getrt(1,0); solve(rt);
    for(int i=1;i<=m;++i) 
        if(ans[i]) puts("AYE"); else puts("NAY");
    return 0;
}

3.聪聪可可

Description:

给你一棵树,询问有多少条路径满足边权和为3的倍数

Solution:

和Tree差不多......统计时开3个桶,乘法原理搞一下就行

4.Distance in Tree

Description:

给你一棵树,问路径长为K的条数

Solution:

方法同2,如果你无聊的话可以写个类似Tree的写法用<=k的减去<k的

居然跑了rk5?

#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ls p<<1 
#define rs p<<1|1
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mxn=1e5+5;
int n,m,k,rt,cnt,tot,ans,sumsz,f[mxn],hd[mxn],sz[mxn],bac[mxn],dep[mxn],vis[mxn],dis[mxn];

inline int read() {
    char c=getchar(); int x=0,f=1;
    while(c>'9'||c<'0') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while(c<='9'&&c>='0') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15);c=getchar();}
    return x*f;
}
inline void chkmax(register int &x,register int y) {if(x<y) x=y;}
inline void chkmin(register int &x,register int y) {if(x>y) x=y;}

struct ed {
    int to,nxt,w;
}t[mxn<<1];

inline void add(register int u,register int v,register int w) {
    t[++cnt]=(ed) {v,hd[u],w}; hd[u]=cnt;
}

int getrt(register int u,register int fa) {
    f[u]=0; sz[u]=1;
    for(register int i=hd[u];i;i=t[i].nxt) {
        register int v=t[i].to;
        if(v==fa||vis[v]) continue ;
        getrt(v,u); sz[u]+=sz[v];
        chkmax(f[u],sz[v]);
    }
    chkmax(f[u],sumsz-sz[u]);
    if(f[rt]>f[u]) rt=u;
}

void getdis(register int u,register int fa) {
    if(dep[u]<=k) ++dis[dep[u]],ans+=bac[k-dep[u]];
    for(register int i=hd[u];i;i=t[i].nxt) {
        register int v=t[i].to;
        if(v==fa||vis[v]) continue ;
        dep[v]=dep[u]+t[i].w; getdis(v,u); 
    }
}

void cal(register int u) {
    tot=0; 
    for(register int i=hd[u];i;i=t[i].nxt) {
        register int v=t[i].to;
        if(vis[v]) continue ;
        dep[v]=t[i].w; getdis(v,u);
        for(register int j=1;j<=k;++j) 
            bac[j]+=dis[j],dis[j]=0;
    }
    for(register int i=1;i<=k;++i) bac[i]=0;
}

void solve(register int u) {
    cal(u); vis[u]=1;
    for(register int i=hd[u];i;i=t[i].nxt) {
        register int v=t[i].to;
        if(vis[v]) continue ;
        rt=0; sumsz=sz[v];
        getrt(v,u); solve(rt);
    }
}

int main()
{
    n=read(); k=read(); register int u,v,w; bac[0]=1;
    for(register int i=1;i<n;++i) {
        u=read(); v=read(); w=1;
        add(u,v,w); add(v,u,w);
    }
    rt=0; sumsz=f[0]=n;
    getrt(1,0); solve(rt);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

5.[IOI2011] Race

Description:

求树上的一条路径,长度为K且边最少

Solution:

其实也很简单,就用Tree的方法直接计数,然后减去

不同的是,要把答案扔到一个边数桶里

https://www.cnblogs.com/candy99/p/6270581.html

6.树上游戏

Description:

lrb有一棵树,树的每个节点有个颜色。给一个长度为n的颜色序列,定义s(i,j) 为i 到j 的颜色数量。以及

现在他想让你求出所有的sum[i]

Solution:

毒瘤题,考虑第一次碰到一种颜色会产生该点子树的贡献

看代码吧:

#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ls p<<1 
#define rs p<<1|1
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mxn=1e5+5;
int n,m,s,rt,cnt,sumsz,hd[mxn];
int f[mxn],val[mxn],sz[mxn],vis[mxn];
int num[mxn],fs[mxn],col[mxn],tot[mxn];
ll sum,ans[mxn];

inline int read() {
    char c=getchar(); int x=0,f=1;
    while(c>'9'||c<'0') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while(c<='9'&&c>='0') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15);c=getchar();}
    return x*f;
}
inline void chkmax(int &x,int y) {if(x<y) x=y;}
inline void chkmin(int &x,int y) {if(x>y) x=y;}

struct ed {
    int to,nxt;
}t[mxn<<1];

inline void add(int u,int v) {
    t[++cnt]=(ed) {v,hd[u]}; hd[u]=cnt;
}

int getrt(int u,int fa) {
    sz[u]=1; f[u]=0;
    for(int i=hd[u];i;i=t[i].nxt) {
        int v=t[i].to;
        if(v==fa||vis[v]) continue ;
        getrt(v,u); sz[u]+=sz[v];
        chkmax(f[u],sz[v]);
    }
    chkmax(f[u],sumsz-sz[u]);
    if(f[u]<f[rt]) rt=u;
}

void dfs(int u,int fa,ll &res) {
    sz[u]=1; ++num[val[u]];
    if(num[val[u]]==1) fs[u]=1,++s;
    else fs[u]=0;
    tot[u]=s; res+=tot[u];
    for(int i=hd[u];i;i=t[i].nxt) {
        int v=t[i].to;
        if(v==fa||vis[v]) continue ;
        dfs(v,u,res); sz[u]+=sz[v];
    }
    if(fs[u]) col[val[u]]+=sz[u],sum+=sz[u],--s;
    --num[val[u]];
} //单独计算根的答案

void change(int u,int fa,int x) {
    if(fs[u]) col[val[u]]+=x*sz[u],sum+=x*sz[u];
    for(int i=hd[u];i;i=t[i].nxt) {
        int v=t[i].to; 
        if(v==fa||vis[v]) continue ;
        change(v,u,x);
    }
}

void cal(int u,int fa,int k) {
    if(fs[u]) sum-=col[val[u]];
    ans[u]+=1ll*tot[u]*k+sum; //前者是越过分治中心的贡献,后者是本身子树的
    for(int i=hd[u];i;i=t[i].nxt) {
        int v=t[i].to;
        if(v==fa||vis[v]) continue ;
        cal(v,u,k);
    }
    if(fs[u]) sum+=col[val[u]];
}

void clear(int u,int fa) {
    col[val[u]]=0;
    for(int i=hd[u];i;i=t[i].nxt) {
        int v=t[i].to;
        if(v==fa||vis[v]) continue ;
        clear(v,u);
    }
}

void solve(int u) {
    vis[u]=1; dfs(u,0,ans[u]); col[val[u]]-=sz[u]; sum-=sz[u]; //先减掉根的贡献
    for(int i=hd[u];i;i=t[i].nxt) {
        int v=t[i].to;
        if(vis[v]) continue ;
        change(v,0,-1); //去除该子树贡献
        cal(v,0,sz[u]-sz[v]); //计算该子树答案
        change(v,0,1);
    }
    clear(u,0); sum=0;
    for(int i=hd[u];i;i=t[i].nxt) {
        int v=t[i].to;
        if(vis[v]) continue ;
        sumsz=sz[v]; rt=0;
        getrt(v,u); solve(rt);
    }
}

int main()
{
    n=read(); int u,v;
    for(int i=1;i<=n;++i) val[i]=read();
    for(int i=1;i<n;++i) {
        u=read(); v=read();
        add(u,v); add(v,u);
    }
    f[0]=n; rt=0; sumsz=n;
    getrt(1,0); solve(rt);
    for(int i=1;i<=n;++i) printf("%lld\n",ans[i]);
    return 0; 
}

7.[BJOI2017]难题

Description:

每条边有颜色,路径的权值定义为连续颜色段权值的和,求一条长为[L,R]路径的最大权值

Solution:

本来可以直接开桶维护最大值

但是更新答案时要查询一段区间,很烦

考虑类似滑动窗口那题的单调队列优化

或者你也可以写个线段树合并

这题恶心的一点是你要考虑颜色相同时的合并

所以遍历儿子时要把相同颜色边的弄到一起,方便讨论

合并时注意还要按深度启发式合并,保证复杂度

#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ls p<<1 
#define rs p<<1|1
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mxn=1e5+5,inf=1e9;
int n,m,L,R,rt,ans,cnt,sumsz,hd[mxn];
int sz[mxn],mx[mxn],dep[mxn],vis[mxn],col[mxn],colmx[mxn],T[mxn],dis[mxn],f[mxn],g[mxn];

inline int read() {
    char c=getchar(); int x=0,f=1;
    while(c>'9'||c<'0') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while(c<='9'&&c>='0') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15);c=getchar();}
    return x*f;
}
inline void chkmax(int &x,int y) {if(x<y) x=y;}
inline void chkmin(int &x,int y) {if(x>y) x=y;}

struct ed {
    int to,nxt,w;
}t[mxn<<1];

inline void add(int u,int v,int w) {
    t[++cnt]=(ed) {v,hd[u],w}; hd[u]=cnt;
}

void getrt(int u,int fa) {
    mx[u]=0; sz[u]=1;
    for(int i=hd[u];i;i=t[i].nxt) {
        int v=t[i].to;
        if(v==fa||vis[v]) continue ;
        getrt(v,u); sz[u]+=sz[v];
        chkmax(mx[u],sz[v]);
    }
    chkmax(mx[u],sumsz-sz[u]);
    if(mx[rt]>mx[u]) rt=u;
}

void getdep(int u,int fa,int d) {
    dep[u]=d;
    for(int i=hd[u];i;i=t[i].nxt) {
        int v=t[i].to;
        if(v==fa||vis[v]) continue ;
        getdep(v,u,d+1); chkmax(dep[u],dep[v]);
    }
}

void getval(int u,int fa,int val,int las,int d) {
    if(d>R) return ;
    chkmax(dis[d],val);
    for(int i=hd[u];i;i=t[i].nxt) {
        int v=t[i].to;
        if(v==fa||vis[v]) continue ;
        getval(v,u,val+(t[i].w!=las)*col[t[i].w],t[i].w,d+1);
    }
}

struct Buc {
    int col,deep,id;
    friend bool operator < (Buc x,Buc y) {
        if(x.col==y.col) return x.deep<y.deep;
        return colmx[x.col]<colmx[y.col];
    }
}A[mxn];

void merge(int *a,int &lena,int *b,int &lenb) {
    for(int i=1;i<=max(lena,lenb);++i) 
        chkmax(a[i],b[i]),b[i]=-inf; 
    lena=lenb;  
}

int cal(int *a,int lena,int *b,int lenb,int val,int flag) {
    chkmin(lena,R),chkmin(lenb,R);
    static int q[mxn]; int h=1,tl=0,res=-inf;
    for(int i=lenb,j=0;i;--i) {
        while(j<=lena&&i+j<=R) {
            while(h<=tl&&a[q[tl]]<=a[j]) --tl;
            q[++tl]=j; ++j;
        }
        while(h<=tl&&q[h]+i<L) ++h;
        if(flag) chkmax(res,T[i]+b[i]); 
        //在和同色路径合并答案时同时与之前子树算答案
        if(h<=tl&&q[h]+i<=R&&q[h]+i>=L) 
            if(flag) chkmax(res,a[q[h]]-val+b[i]);
            else b[i]=a[q[h]]; //处理T数组,表示在i+len在[L,R]的f[i]的max
    }
    return res;
}

void solve(int u) {
    vis[u]=1; int cnts=0;
    for(int i=hd[u];i;i=t[i].nxt) {
        int v=t[i].to;
        if(vis[v]) continue ;
        getdep(v,u,1); chkmax(colmx[t[i].w],dep[v]);
        A[++cnts]=(Buc){t[i].w,dep[v],v};
    }
    sort(A+1,A+cnts+1); //排序
    if(A[cnts].deep*2<L) return ;
    int szf=0,szg=0;
    for(int i=1;i<=cnts;++i) {
        if(i!=1&&A[i].col!=A[i-1].col) {
            merge(f,szf,g,szg),szg=0; //g表示同色的路径,f表示不同色的路径
            cal(f,szf,T,colmx[A[i].col],0,0);
        }
        getval(A[i].id,0,col[A[i].col],A[i].col,1);
        chkmax(ans,cal(g,szg,dis,A[i].deep,col[A[i].col],1));//多算的要减去
        merge(g,szg,dis,A[i].deep);
    }
    for(int i=1;i<=cnts;++i) colmx[A[i].col]=0;
    for(int i=1;i<=A[cnts].deep;++i) {
        f[i]=g[i]=-inf;
        T[i]=(L<=i&&i<=R)?0:-inf;
    }
    for(int i=hd[u];i;i=t[i].nxt) {
        int v=t[i].to;
        if(vis[v]) continue ;
        rt=0; sumsz=sz[v]; 
        getrt(v,u); solve(rt);
    }   
}

int main()
{
    int u,v,w; ans=-inf;
    n=read(); m=read(); L=read(); R=read();
    for(int i=1;i<=m;++i) col[i]=read();
    for(int i=1;i<n;++i) {
        u=read(); v=read(); w=read();
        add(u,v,w); add(v,u,w);
    }
    memset(f,0x80,sizeof(f));
    memset(g,0x80,sizeof(g));
    memset(T,0x80,sizeof(T));
    memset(dis,0x80,sizeof(dis));
    mx[0]=inf; sumsz=n; rt=0; getrt(1,0);
    solve(rt); printf("%d",ans);
    return 0;
}
posted @ 2019-03-29 14:48 cloud_9 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏