Biorhythms
题目:(POJ—1006)
Description
Input
当p = e = i = d = -1时,输入数据结束。
Output
采用以下格式:
Case 1: the next triple peak occurs in 1234 days.
注意:即使结果是1天,也使用复数形式“days”。
Sample Input
0 0 0 0
0 0 0 100
5 20 34 325
4 5 6 7
283 102 23 320
203 301 203 40
-1 -1 -1 -1
Sample Output
Case 1: the next triple peak occurs in 21252 days. Case 2: the next triple peak occurs in 21152 days. Case 3: the next triple peak occurs in 19575 days. Case 4: the next triple peak occurs in 16994 days. Case 5: the next triple peak occurs in 8910 days. Case 6: the next triple peak occurs in 10789 days.
分析:
如要讨论中国利余定理,同余(congruence)的概念可算是必须。
给定一个正整数n,我们说两个数a、b是对模n同余,如果a-b是n的倍数。用符号a≡b(mod n)来代表。一般来说,a≡b(mod n)等同于a=b+kn,而a,b,k,n都是整数,所以,13≡1(mod 6)、19≡1(mod 6)。
但同余并不只是一个代号,而是有很方便和有趣的特性。(一)整数加法跟普通加法相似,a+c≡(b+c)(mod n);(二)整数乘法跟普通乘法相似,ac≡bc(mod n),而a,b,c,n都是整数。但如果ac≡bc(mod n),则不一定a≡b(mod n)。
以「鬼谷算」为例,假设x是那个未知数,而除3,5,7后的余数分别为r1,r2,r3。因此有
x≡r1(mod 3)
x≡r2(mod 5)
x≡r3(mod 7)
而另一方面
70=(5x7)x2≡1(mod 3)、70≡0(mod 5)及70≡0(mod 7)
21=(3x7)x1≡1(mod 5)、21≡0(mod 3)及21≡0(mod 7)
15=(3x5)x1≡1(mod 7)、15≡0(mod 3)及15≡0(mod 5)
由同余的特性,我们有
70r1≡r1(mod 3)、70r1≡0(mod 5)及70r1≡0(mod 7)
21r2≡0(mod 3)、 21r2≡r2(mod 5)及21r2≡0(mod 7)
15r3≡0(mod 3)、 15r3≡0(mod 5)及15r3≡r3(mod 7)
因此亦有
70r1+21r2+15r3≡r1(mod 3)
70r1+21r2+15r3≡r2(mod 5)
70r1+21r2+15r3≡r3(mod 7)
所以
x≡70r1+21r2+15r3+3m
x≡70r1+21r2+15r3+5n
x≡70r1+21r2+15r3+7p
最后得到这个精彩的结果,x≡(70r1+21r2+15r3)(mod 105),而105正便是3,5,7的最小公偣数。所以其实在很多数字可以满足这几个余数条件的,要找到最小值才要减105。
对于中国剩余定理有个简单理解并记忆的方法:
中国剩余定理的思想在于先找到一个满足条件的数,不管是不是最小的,如果不是最小的就不断减公倍数,中国剩余定理的巧妙在于把满足条件的数分成三个部分相加,例如:
假设满足条件的数为:M=3*5*a+5*7*b+3*7*c
先让它满足条件1:除以3余1,我们看M的第一部分和第三部分能被3整除,只要第二部分除以3余1就行了,选择b=2就满足
再满足条件2:除以5余2,考虑第三部分就行了,选择c=2就满足
最后满足条件3:除以7余3,考虑第一部分就行了,选择a=3
这样M=3*5*3+5*7*2+3*7*2=157,比公倍数大,减去公倍数,157-105=52是满足条件最小数
以我个人理解写成下面这个形式(以3个数为例)
X被a,b,c处分别余r1,r2,r3。表示为:
X%a = r1 x%b = r2 x%c = r3
bc*k1 % a = 1 ac*k3 % b = 1 ab*k3 % c = 1
所以
x = bc * k1 * r1 + ac * k2 * r2 + ab * k3 * r3
AC代码:
#include<iostream> #include<cstdio> #include<string> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm> using namespace std; int r1,r2,r3,r; void solve() { int i; for (i=1,r1=28*33;;i++) if (r1*i%23==1) break; r1*=i; for (i=1,r2=23*33;;i++) if (r2*i%28==1) break; r2*=i; for (i=1,r3=23*28;;i++) if (r3*i%33==1) break; r3*=i; r=23*28*33; } int main() { int p,e,i,d; int Case=1; int sum; while (cin>>p>>e>>i>>d) { if (p==-1&&e==-1&&i==-1&&d==-1) break; solve(); sum=(r1*p+r2*e+r3*i-d)%r; sum=(sum+r-1)%r+1; cout << "Case " << Case++ << ": the next triple peak occurs in " << sum << " days." << endl; } return 0; }