Biorhythms

题目:(POJ—1006)

Description

人生来就有三个生理周期,分别为体力、感情和智力周期,它们的周期长度为23天、28天和33天。每一个周期中有一天是高峰。在高峰这天,人会在相应的方面表现出色。例如,智力周期的高峰,人会思维敏捷,精力容易高度集中。因为三个周期的周长不同,所以通常三个周期的高峰不会落在同一天。对于每个人,我们想知道何时三个高峰落在同一天。对于每个周期,我们会给出从当前年份的第一天开始,到出现高峰的天数(不一定是第一次高峰出现的时间)。你的任务是给定一个从当年第一天开始数的天数,输出从给定时间开始(不包括给定时间)下一次三个高峰落在同一天的时间(距给定时间的天数)。例如:给定时间为10,下次出现三个高峰同天的时间是12,则输出2(注意这里不是3)。

Input

输入四个整数:p, e, i和d。 p, e, i分别表示体力、情感和智力高峰出现的时间(时间从当年的第一天开始计算)。d 是给定的时间,可能小于p, e, 或 i。 所有给定时间是非负的并且小于365, 所求的时间小于21252。 

当p = e = i = d = -1时,输入数据结束。

Output

从给定时间起,下一次三个高峰同天的时间(距离给定时间的天数)。 

采用以下格式: 
Case 1: the next triple peak occurs in 1234 days. 

注意:即使结果是1天,也使用复数形式“days”。

Sample Input

0 0 0 0
0 0 0 100
5 20 34 325
4 5 6 7
283 102 23 320
203 301 203 40
-1 -1 -1 -1

Sample Output

Case 1: the next triple peak occurs in 21252 days.
Case 2: the next triple peak occurs in 21152 days.
Case 3: the next triple peak occurs in 19575 days.
Case 4: the next triple peak occurs in 16994 days.
Case 5: the next triple peak occurs in 8910 days.
Case 6: the next triple peak occurs in 10789 days.


分析:

如要讨论中国利余定理,同余(congruence)的概念可算是必须。

给定一个正整数n,我们说两个数a、b是对模n同余,如果a-b是n的倍数。用符号a≡b(mod n)来代表。一般来说,a≡b(mod n)等同于a=b+kn,而a,b,k,n都是整数,所以,13≡1(mod 6)、19≡1(mod 6)。 
但同余并不只是一个代号,而是有很方便和有趣的特性。(一)整数加法跟普通加法相似,a+c≡(b+c)(mod n);(二)整数乘法跟普通乘法相似,ac≡bc(mod n),而a,b,c,n都是整数。但如果ac≡bc(mod n),则不一定a≡b(mod n)。 
以「鬼谷算」为例,假设x是那个未知数,而除3,5,7后的余数分别为r1,r2,r3。因此有
x≡r1(mod 3) 
x≡r2(mod 5) 
x≡r3(mod 7) 
而另一方面
70=(5x7)x2≡1(mod 3)、70≡0(mod 5)及70≡0(mod 7) 
21=(3x7)x1≡1(mod 5)、21≡0(mod 3)及21≡0(mod 7) 
15=(3x5)x1≡1(mod 7)、15≡0(mod 3)及15≡0(mod 5) 
由同余的特性,我们有
70r1≡r1(mod 3)、70r1≡0(mod 5)及70r1≡0(mod 7) 
21r2≡0(mod 3)、 21r2≡r2(mod 5)及21r2≡0(mod 7) 
15r3≡0(mod 3)、 15r3≡0(mod 5)及15r3≡r3(mod 7) 
因此亦有 
70r1+21r2+15r3≡r1(mod 3) 
70r1+21r2+15r3≡r2(mod 5) 
70r1+21r2+15r3≡r3(mod 7) 

所以

x≡70r1+21r2+15r3+3m

x≡70r1+21r2+15r3+5n
x≡70r1+21r2+15r3+7p
 最后得到这个精彩的结果,x≡(70r1+21r2+15r3)(mod 105),而105正便是3,5,7的最小公偣数。所以其实在很多数字可以满足这几个余数条件的,要找到最小值才要减105。

对于中国剩余定理有个简单理解并记忆的方法:

中国剩余定理的思想在于先找到一个满足条件的数,不管是不是最小的,如果不是最小的就不断减公倍数,中国剩余定理的巧妙在于把满足条件的数分成三个部分相加,例如:
假设满足条件的数为:M=3*5*a+5*7*b+3*7*c
先让它满足条件1:除以3余1,我们看M的第一部分和第三部分能被3整除,只要第二部分除以3余1就行了,选择b=2就满足
再满足条件2:除以5余2,考虑第三部分就行了,选择c=2就满足
最后满足条件3:除以7余3,考虑第一部分就行了,选择a=3
这样M=3*5*3+5*7*2+3*7*2=157,比公倍数大,减去公倍数,157-105=52是满足条件最小数

以我个人理解写成下面这个形式(以3个数为例)

X被a,b,c处分别余r1,r2,r3。表示为:

X%a = r1          x%b = r2          x%c = r3

bc*k1 % a = 1     ac*k3 % b = 1     ab*k3 % c = 1

所以

x = bc * k1 * r1 + ac * k2 * r2 + ab * k3 * r3

AC代码:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
int r1,r2,r3,r;
void solve()
{
    int i;
    for (i=1,r1=28*33;;i++)
        if (r1*i%23==1)
        break;
    r1*=i;
     for (i=1,r2=23*33;;i++)
        if (r2*i%28==1)
          break;
    r2*=i;
     for (i=1,r3=23*28;;i++)
        if (r3*i%33==1)
        break;
    r3*=i;
    r=23*28*33;
}
int main()
{
    int p,e,i,d;
    int Case=1;
    int sum;
    while (cin>>p>>e>>i>>d)
    {
        if (p==-1&&e==-1&&i==-1&&d==-1)
            break;
            solve();
        sum=(r1*p+r2*e+r3*i-d)%r;
        sum=(sum+r-1)%r+1;
        cout << "Case " << Case++ << ": the next triple peak occurs in " << sum << " days." << endl;
    }
    return 0;
}

 

posted @ 2017-11-10 20:17  你的女孩居居  阅读(241)  评论(0编辑  收藏  举报