3196. 最大化子数组的总成本

https://leetcode.cn/problems/maximize-total-cost-of-alternating-subarrays/description/

给你一个长度为\(n\)的整数数组\(nums\)。
子数组\(nums[l..r]\)（其中\(0 <= l <= r < n\)）的 成本 定义为：
\(cost(l, r) = nums[l] - nums[l + 1] + ... + nums[r] * (−1)^{r−l}\)
你的任务是将\(nums\)分割成若干子数组，使得所有子数组的成本之和 最大化，并确保每个元素 正好 属于一个子数组。
具体来说，如果\(nums\)被分割成\(k\)个子数组，且分割点为索引\(i_1, i_2, ..., i_{k − 1}\)（其中 \(0 <= i_1 < i_2 < ... < i_{k-1} < n - 1\)），则总成本为：
\(cost(0, i_1) + cost(i_1 + 1, i_2) + ... + cost(i_{k − 1} + 1, i_{n − 1})\)
返回在最优分割方式下的子数组成本之和的最大值。
注意：如果\(nums\)没有被分割，即\(k = 1\)，则总成本即为\(cost(0, n - 1)\)。

示例 1：
输入： nums = [1,-2,3,4]
输出： 10
解释：
一种总成本最大化的方法是将 [1, -2, 3, 4] 分割成子数组 [1, -2, 3] 和 [4]。总成本为 (1 + 2 + 3) + 4 = 10。

示例 2：
输入： nums = [1,-1,1,-1]
输出： 4
解释：
一种总成本最大化的方法是将 [1, -1, 1, -1] 分割成子数组 [1, -1] 和 [1, -1]。总成本为 (1 + 1) + (1 + 1) = 4。

示例 3：
输入： nums = [0]
输出： 0
解释：
无法进一步分割数组，因此答案为 0。

示例 4：
输入： nums = [1,-1]
输出： 2
解释：
选择整个数组，总成本为 1 + 1 = 2，这是可能的最大成本。

提示：
\(1 <= nums.length <= 10^5\)
\(-10^9 <= nums[i] <= 10^9\)

方法二：
转化一下题意：给\(nums\)的每个元素前面加上正负号，其中正号可以任意添加（因为可以视为一个子数组的开头），负号元素只能紧接在正号元素后面。求最大和。

题意转化之后，做法就很显然了。维护 \(f(i,j=0/1)\) 表示第 iii 个元素是正\(（j=0）\)或负\(（j=1）\)号元素的最大前缀和，转移方程为

\[f(i, 0) = \max(f(i - 1, 0), f(i - 1, 1)) + a_i \]

\[f(i, 1) = f(i - 1, 0) - a_i \]

，答案就是\(\max(f(n, 0), f(n, 1))\)。复杂度 \(\mathcal{O}(n)\)。

class Solution {
public:
    long long maximumTotalCost(vector<int>& nums) {
        int n=nums.size();
        long long INF=1e18;
        long long f[n][2];
        for(int i=0;i<n;i++){
            f[i][0]=f[i][1]=-INF;
        }
        f[0][0]=nums[0];//这个是+
        for(int i=1;i<n;i++){
            f[i][0]=max(f[i-1][0],f[i-1][1])+nums[i];//加
            f[i][1]=f[i-1][0]-nums[i];//-
        }
        return max(f[n-1][0],f[n-1][1]);
    }
};

方法二：
我们从后往前遍历数组的元素，从终点向起点归并，得出最大总成本。
规定f[i][1]表示当前数i变号,f[i][0]表示当前数i不变号。
如果前一个数变号，那么当前数的一定不变号；
如果前一个数不变号，那么当前的数可能变号也可能不变号；
于是当前的数变号的话，f[i][1]=f[i+1][0]-nums[i]；
不变号的话f[i][0]为f[i+1][1]+nums[i]和f[i+1][0]+nums[i]中的较大者
第一个数一定是不变号的，所以结果为f[0][0];

class Solution {
public:
    long long maximumTotalCost(vector<int>& nums) {
        int n=nums.size();
        vector<array<long long,2>>f(n+1);
        for(int i=n-1;i>=0;i--){
            f[i][1]=f[i+1][0]-nums[i];
            f[i][0]=max(f[i+1][1]+nums[i],f[i+1][0]+nums[i]);
        }
        return f[0][0];
    }
};