待定

拉格朗日插值多项式 ( p_n(x) ) 的表达式为：

\(p_n(x) = \sum_{k=0}^{n} f(x_k) \cdot l_k(x)\)

其中，( f(x_k) ) 是在插值节点 ( x_k ) 处的函数值，( l_k(x) ) 是拉格朗日插值基函数：

\(l_k(x) = \prod_{i=0, i\neq k}^{n} \frac{x - x_i}{x_k - x_i}\)

对于任一次数不高于 ( n ) 的多项式 ( q(x) )，我们可以将其写为：

\(q(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_nx^n\)

其中，\(a_0, a_1, \ldots, a_n\) 是多项式的系数。然后，我们可以应用拉格朗日插值多项式的形式：

\(p_n(x) = \sum_{k=0}^{n} q(x_k) \cdot l_k(x)\)

将 ( q(x) ) 的表达式代入上式，得到：

\(p_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \left( a_0 + a_1x_k + a_2x_k^2 + \ldots + a_nx_k^n \right) \cdot l_k(x)\)

这就是任一次数不高于 ( n ) 的多项式 ( q(x) ) 的 ( n ) 次拉格朗日插值多项式 ( p_n(x) ) 的表达式