2832: 小y爱数数

传送门

小y有$n$个数字$(1-n)$，他每次会在里面等概率随机选取两个数$x$,$y$(两个数互不影响）,求$x%y==k$的概率(对23333取模)

保证$n%23333!=0$对$23333$取模的结果：假设答案化为最简分式后的形式为$a/b$, 其中$a$和$b$互质。

输出整数 x 使得 bx mod 23333 ≡ amod 23333 且 0<=x<=23333  （可以证明这样的整数 x 是唯一的）

一共T组询问，输出T组询问的答案的异或和

输入

第一行读入一个正整数T 

接下来T行每一行读入两个整数n,k,

n≤1e5,0<=k<=10,T<=5e5

保证n%23333!=0

输出

输出一行一个数代表答案

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5
10 3
1 0
2 0
3 1
4 2

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13459

提示

样例中每组询问答案分别为7700,1,5834,7778,8750

 

 

首先当x>y时，x%y=k显然等价于x=ny+k;（n≥1）那么我们想到， 对于每个y和k,都有固定的x与之对应， 比如y+k, 2y+k...那么我们可以枚举出每一个k和y的x的取值， 复杂度为, 由著名的调和级数得知, 复杂度为O(knlogn), 是可以过去的，我们枚举每一种方案数是， 可以用数组f[i][j]表示k为i， x为j的方案数， 那么求一个前缀和就是n为j的方案数。
再想一下， 当x<y时，如果k=0, 显然无解， 当k>0时， x只能是k， y可以取[k+1, n]之间的任意数， 特判一下即可。。

 

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define int long long
const int N = 1e5 + 10;
const int maxn = 1e5;
const int mod = 23333;

template < typename T > inline void read(T &x) {
    x = 0; T ff = 1, ch = getchar();
    while (!isdigit(ch)) {
        if (ch == '-') ff = -1;
        ch = getchar();
    }
    while (isdigit(ch)) {
        x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48);
        ch = getchar();
    }
    x *= ff;
}

int T, n, k, ans = 0;
int f[11][N];

inline int power(int a, int b) {
    int ans = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) ans = ans * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

signed main() {
    // x % y == k
    for (int i = 0; i <= 10; ++i) { // 枚举k 
        for (int j = i + 1; j <= maxn; ++j) // 枚举 y
            for (int k = 1; k * j + i <= maxn; ++k) // k*j+i是x 
                ++f[i][k * j + i];
        for (int j = 1; j <= maxn; ++j) f[i][j] = (f[i][j] + f[i][j - 1]) % mod;
    }
    //当x>=k时，x%y==k等价(x-k)%y==0 
    //上面都是保证x>y的 
    read(T);
    while (T--) {
        read(n), read(k);
        int cnt = f[k][n];
        if (k != 0) cnt += max(n - k, 0ll); 
        // 这里表示当x<y时，x只能时k, y可以是[k+1, n]之间的人任何数
        cnt %= mod;
        cnt = cnt * power(n * n % mod, mod - 2) % mod;
        ans ^= cnt;
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}