分配颜色

题目描述

传送门

今天小A带同学们玩游戏，需要分为两组。每名同学为红队或蓝队。

为了方便分配颜色，小A让同学们站成n排m列。初始时，所有人都为红队成员。

小A可以进行p次操作1和q次操作2，操作解释如下：

操作1:把某一行的同学进行取反操作：即红队变为蓝队，蓝队变成红队。
操作2:把某一列的同学进行取反操作：即红队变为蓝队，蓝队变成红队。

小A想知道，有多少种方案满足：执行完所有的操作1和操作2之后，蓝队同学恰好有t名。

由于答案可能会很大，所以只需要输出结果对555555555取模的结果即可。

PS：若两个方案中的某一行或列被小A进行操作的次数不同时，则视为两种不同的方案

题解

这是一道组合数学的题目，首先考虑一下如果有i行和j列被翻转，然后就有$i∗m+j∗n−2∗i∗j$个格子变成蓝色的，并且$ $i$

很显然我们可以从n中任意选i个翻转，C[n][i]
我们也可以从m中任意选j个翻转，C[m][j]
然后对于多余的操作p-i,我一开始想的是因为p-i一定是偶数，可以抵消，那么我们分配(p-i)/2就行,另一半部分跟着之前操作就行.

这个就相当于现在我们有(p-i)/2个操作要执行，每个操作可以选任意一行，且与顺序无关，那问题转换一下，有(p-i)/2个球，现在有n个盒子，

现在要把球放在盒子里，随机放，方案是多少？

我们利用隔板法来做：现在有(p-i)/2+n个球，有n个盒子，每个盒子至少一个球，所有球排成一列，有(p-i)/2+n-1个间隙，在这些间隙中插入n-1个隔板，这样就可以分出n个空间，相当于n个盒子，也就是C[(p−i)/2+n−1][n−1]

Code

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=3510;
const int mod=555555555;//组合 
ll n,m,p,q,t;
ll C[maxn][maxn];
void get_C()
{
    C[0][0] = 1;
    for(int i=1;i<3510;i++){
        C[i][0] = 1;
        for(int j=1;j<=i;j++)
            C[i][j] = (C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
    }
}
void inint(){
    cin>>n>>m>>p>>q>>t;
} 
ll res=0;
ll mmin(ll aa,ll bb){
    if(aa>bb){
        return bb;
    }
    return aa;
}
int main(){
    inint();
    get_C();
    for(int i=0;i<=mmin(n,p);i++){
        for(int j=0;j<=mmin(m,q);j++){
            ll a=p-i,b=q-j,s=i*m+j*n-2*i*j;
            if(s!=t||a&1||b&1){
                continue;
            }
            a/=2,b/=2;
            ll r=C[n][i],c=C[m][j];
            if(n-i-1>=0){
                r=(r*C[a+n-1][n-1])%mod;
            }
            if(m-j-1>=0){
                c=(c*C[b+m-1][m-1])%mod;
            }
            res=(res+r*c%mod);
            res%=mod;
        }
    }
    cout<<res<<"\n";
}

posted @ 2021-10-27 19:43 lipu123 阅读(244) 评论(0) 收藏举报

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