gcd,gcd(欧拉函数）
Description
给你两个数a,m;
问你在 [0,m−1]范围内有几个数 xx 满足gcd(a,m)=gcd(a+x,m)；
Input
第一行一个整数TT；
接下来TT行，每行两个整数a,ma,m;
1≤a<m≤1e91≤a<m≤1e9
Output
针对每两个数，输出满足条件的xx的数量。
Samples
Hint
对于第一个4 9：
满足的x是:0 1 3 4 6 7
gcd(a,m)==gcd(a+x,m)由欧几里得算法
gcd(m,(a+x)%m)=temp
令(a+x)%m==k;//这里一个x对应一个k
gcd(a,k)==temp;
gcd(a/temp,k)==1转化位欧拉函数找与a/temp的互质的个数
#pragma GCC optimize(1) #pragma GCC optimize(2) #pragma GCC optimize(3,"Ofast","inline") #include<cstring> #include<cstdio> #include<iostream> #include<algorithm> #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; template <typename Tp> void read(Tp &x){//read(n); x=0;char ch=1;int fh; while(ch!='-'&&(ch>'9'||ch<'0')){ ch=getchar(); } if(ch=='-'){ fh=-1;ch=getchar(); }else fh=1; while(ch>='0'&&ch<='9'){ x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar(); } x*=fh; } inline char read1()//字符串读入挂 { register char ch=getchar(); while(ch<'A'||ch>'M')ch=getchar(); return ch; } const int maxn=1e4+100; ll gcd(ll a,ll b){ if(b==0){ return a; } else{ return gcd(b,a%b); } } ll Euler(ll n) {//求φ(m/tmp) ll res = n; for (ll i = 2; i*i <= n; i++) { if (n % i == 0) { res = res / i * (i - 1);//先除防止数据溢出 while (n % i == 0)n /= i; } } if (n > 1)res = res / n * (n - 1); return res; } int main(){ int T; scanf("%d",&T); //gcd(a,m)==gcd(a+x,m) //gcd(m,(a+x)%m)=temp //令(a+x)%m==k;//这里一个x对应一个k //gcd(a,k)==temp; //gcd(a/temp,k)==1转化位欧拉函数找与a/temp的互质的个数 while(T--){ ll a,m; scanf("%lld%lld",&a,&m); ll tmp=gcd(a,m); printf("%lld\n",Euler(m/tmp)); } return 0; }
有一天ZKL遇到一道数学题。给定三个正整数a,b,m，问有多少个整数x满足0≤x<m并且gcd(a+b,m)=gcd(b-a+x,m)。但是这对于号称“数学天才”的ZKL来说过于简单了，所以现在她把这道问题抛给了你。
gcd(a,b)代表a和b的最大公约数。
Input
第一行一个整数T代表有T组询问。(1≤T≤10)
接下来T行每行三个整数a,b,m(1≤a≤b≤1012 , 1≤m≤1012)。
Output
T行，第i行代表第i组询问中，满足条件的x的数量
Samples
input
3 1 2 3 2 2 9 12 123 1234
output
1 6 616
令tmp=gcd(a+b,m)，问你有几个x满足gcd(b-a+x,m)==tmp。根据欧几里得算法，gcd(b-a+x,m) == gcd(m,(b-a+x)%m)。此时我们令k=(b-a+x)%m，因为0<=x<m，所以我们可以发现一个x对应一个k，同时k的范围0<=k<m。然后我们就可以将题目转化为0<=k<m，求满足gcd(m,k)==tmp式子k的数量。我们可以发现当k == 0时与k == m时gcd(m,k)都等于m，于是我们可以将k的范围转化成0<k<=m，我们可以得到一下式子，再经过转化，我们可以得到所求即为小于等于(m/tmp)且与(m/tmp)互质的数的数量就是求φ(m/tmp)。
#pragma GCC optimize(1) #pragma GCC optimize(2) #pragma GCC optimize(3,"Ofast","inline") #include<cstring> #include<cstdio> #include<iostream> #include<algorithm> #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; template <typename Tp> void read(Tp &x){//read(n); x=0;char ch=1;int fh; while(ch!='-'&&(ch>'9'||ch<'0')){ ch=getchar(); } if(ch=='-'){ fh=-1;ch=getchar(); }else fh=1; while(ch>='0'&&ch<='9'){ x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar(); } x*=fh; } inline char read1()//字符串读入挂 { register char ch=getchar(); while(ch<'A'||ch>'M')ch=getchar(); return ch; } const int maxn=1e4+100; ll gcd(ll a,ll b){ if(b==0){ return a; } else{ return gcd(b,a%b); } } ll Euler(ll n) {//求φ(m/tmp) ll res = n; for (ll i = 2; i*i <= n; i++) { if (n % i == 0) { res = res / i * (i - 1);//先除防止数据溢出 while (n % i == 0)n /= i; } } if (n > 1)res = res / n * (n - 1); return res; } int main(){ int T; scanf("%d",&T); //gcd(a,m)==gcd(a+x,m) //gcd(m,(a+x)%m)=temp //令(a+x)%m==k;//这里一个x对应一个k //gcd(a,k)==temp; //gcd(a/temp,k)==1转化位欧拉函数找与a/temp的互质的个数 while(T--){ ll a,b,m; scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&m); ll tmp=gcd(a+b,m); printf("%lld\n",Euler(m/tmp)); } return 0; }
