求解多个高维向量围成的高维体积的方法及其应用

前言

上周我们数学老师给了我们一道题，大意就是两个向量a和b，一个点M=$x*a+y*b$，x,y有范围，然后所有M组成的面积是一个定值，求x+y的最小值。当然这是道小水题，但我在想，如果把两个向量变成多个向量，二维变成高维的话，那会怎么样呢。

分析

众所周知，两个二维向量可围成平行四边形。如果再多一个就相当于将该平行四边形沿该向量平移，如下图，总面积就相当于如图蓝色框出的面积（即平移时扫过的体积）。

 

 

 它可以分解成下图三个平行四边形

 所以$S=|a \times b| +|a \times c| +|b \times c|$(注意这里为了方便向量不标箭头，向量叉乘求面积)

那么，对于包含了n-1个向量的图形，它一定是凸多边形，有偶数条边，并且边两两之间配对全等，且它们对外的朝向是相反的，如果再加一个向量Vn，就相当于将该图形整体平移。那么对于原有的每对边，它们中有且仅有一个边的朝向与该向量的方向的夹角在90度以内（即它的朝向在新方向上的分量是>=0的），这条边（记为Vi）平移后增加的面积就是$V_i \times V_n$，至于另一条边，不会贡献面积。

因此，每增加一条新的边，S会增加$$\sum_{i=1}^{n-1} |V_i \times V_n|$$

所以，对于m个二维向量，围成的面积

$$S=\sum_{a,b是1到m的一个二元组合} |a \times b|$$

进一步，将二维扩展为三维，对于三个三维向量围成的平行四边形体，此时再加一个向量，就相当于将该几何体平移，求整个几何体扫过的体积。

同理，对于原先包含了m-1个图形的几何体，它一定是凸多边体，有偶数个面，并且面两两之间配对全等，且它们对外的朝向是相反的，如果再加一个向量Vm，那么每对配对的面都会有一个面对体积产生贡献，所以一条新的向量，它贡献的体积就是原先的向量两两组合成的所有面乘上新向量。

所以总体积计算公式为

$$V=\sum_{a,b,c是1到m的一个三元组合} |(a \times b) \cdot c|$$

更进一步，扩展到n维，也是一样的，它是由许多两两配对的体构程的。此时它的体积（我也不知道高维下的空间大小叫什么，就先沿用体积好了）就难以用点积和叉积表示了，我们用$f(a_1,a_2,...,a_n)$表示n个n维向量围成的体积，则：

$$V=\sum_{i,j,k,...是1到m的一个n元组合} f(a_i,a_j,a_k,...)$$

$f(a_i)$可以用行列式来求解，即：

设m个n维向量分别表示为$v_i=(a_{i,1},...,a_{i,n})$

$f(a_1,a_2,...,a_n)=|det(A)|$

如此一来，我们就得到了多个n维向量围成的n维体积的大小的计算公式

 这样，我们只要知道每条边的向量，就可以计算出整个几何体或是图形的体积了。

即使对于无法配对的几何体，我们也可以把它切成两块或是多块，然后分别计算。

比如对于一个五边形，我们可以切成一块4边的+一块2边的，然后$S=(S_{四边形}+S_{两边形})/2$