[luogu4140] 奇数国

题目

在一片美丽的大陆上有100000个国家，记为1到100000。这里经济发达，有数不尽的账房，并且每个国家有一个银行。某大公司的领袖在这100000个银行开户时都存了3大洋，他惜财如命，因此会不时地派小弟GFS清点一些银行的存款或者让GFS改变某个银行的存款。该村子在财产上的求和运算等同于我们的乘法运算，也就是说领袖开户时的存款总和为3100000。这里发行的软妹面额是最小的60个素数（p1=2,p2=3,…,p60=281），任何人的财产都只能由这60个基本面额表示，即设某个人的财产为fortune（正整数），则fortune=p1^k1*p2^k2*……p60^K60。

领袖习惯将一段编号连续的银行里的存款拿到一个账房去清点，为了避免GFS串通账房叛变，所以他不会每次都选择同一个账房。GFS跟随领袖多年已经摸清了门路,知道领袖选择账房的方式。如果领袖选择清点编号在[a,b]内的银行财产，他会先对[a,b]的财产求和（计为product），然后在编号属于[1,product]的账房中选择一个去清点存款，检验自己计算是否正确同时也检验账房与GFS是否有勾结。GFS发现如果某个账房的编号number与product相冲，领袖绝对不会选择这个账房。怎样才算与product不相冲呢？若存在整数x,y使得number*x+product*y=1，那么我们称number与product不相冲，即该账房有可能被领袖相中。当领袖又赚大钱了的时候，他会在某个银行改变存款，这样一来相同区间的银行在不同的时候算出来的product可能是不一样的，而且领袖不会在某个银行的存款总数超过1000000。

现在GFS预先知道了领袖的清点存款与变动存款的计划，想请你告诉他，每次清点存款时领袖有多少个账房可以供他选择，当然这个值可能非常大，GFS只想知道对19961993取模后的答案。

题解

首先看到题目要求$number*x+product*y=1$

这其实就是一个二元一次不定方程

在学习扩展欧几里得的时候我们知道

如果a、b是整数，那么一定存在整数x、y使得 $ax+by=gcd(a,b)$

那么$ax+by=1$有解当且仅当a,b互质，即要满足number与product互质

也就是说对于一次询问，求得就是product以内有多少与它互质的数，这个就是欧拉函数

但是product太大了，无法直接求，注意到题目说product可以表示成$p1^{k1}*p2^{k2}*……p60^{K60}$

我们知道欧拉函数有三条性质

1. 若a为质数，则$ψ(a)=a-1$

2. 若a,b互质，则$ψ(a*b)$=$ψ(a)*ψ(b)$

3. 若a为质数，b为a的倍数，则$ψ(a*b)=ψ(b)*a$

那么

$ψ(p1^{k1}*p2^{k2}*……p60^{k60})$

$=ψ(p1^{k1})*ψ(p2^{k2})……$（性质2）

$=ψ(p1)*p1^{k1-1}*ψ(p2)*p2^{k2-1}……$（性质3）

$=(p1-1)*p1^{k1-1}*(p2-1)*p2^{k2-1}……$（性质1）

$={(p1^{k1}*p2^{k2}*……)}/(p1*p2*……)*(p1-1)*(p2-1)…… $

$=product/(p1*p2*……)*(p1-1)*(p2-1)…… $

上式中的p都是被product包含的

除法可以用逆元处理

那么，我们可以用线段树维护每段区间的product(取模后)，每个质数是否出现（可以用一个long long或者数组存储），询问时根据返回的数组计算后面那一坨就行了

代码

注意线段树右边界要代100000进去，而不是n（我在这里调了0.5h）

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
#define int long long
#define N 500010
#define lc id*2
#define rc id*2+1
#define mid (l+r)/2
#define mod 19961993
bool fact[N][61];
int prim[61]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,211,223,227,229,233,239,241,251,257,263,269,271,277,281};
int inv[61];
int sum[N];
void build(int id,int l,int r)
{
	fact[id][2]=1;
	if(l==r)
	{
		sum[id]=3;
		return;
	}
	build(lc,l,mid);
	build(rc,mid+1,r);
	sum[id]=sum[lc]*sum[rc]%mod;
}
void modify(int id,int l,int r,int pos,int val)
{
	if(l==r)
	{
		memset(fact[id],0,sizeof(fact[id]));
		sum[id]=val;
		for(int i=1;i<=60;i++)
			if(val%prim[i]==0) fact[id][i]=1;
		return;
	}
	if(pos<=mid) modify(lc,l,mid,pos,val);
	else modify(rc,mid+1,r,pos,val);
	for(int i=1;i<=60;i++) fact[id][i]=fact[lc][i]|fact[rc][i];
	sum[id]=sum[lc]*sum[rc]%mod;
}
int query(int id,int l,int r,int tl,int tr,bool arr[])
{
	if(l>=tl&&r<=tr)
	{
		for(int i=1;i<=60;i++) arr[i]|=fact[id][i];
		return sum[id];
	}
	int ret=1;
	if(tl<=mid) ret=query(lc,l,mid,tl,tr,arr);
	if(tr>mid) ret*=query(rc,mid+1,r,tl,tr,arr);
	return ret%mod;
}
int qpow(int a,int b)
{
	int ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1) ans*=a,ans%=mod;
		a*=a;
		a%=mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
signed main()
{
	int n;
	cin>>n;
	build(1,1,100000);
	for(int i=1;i<=60;i++) inv[i]=qpow(prim[i],mod-2);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int a,b,c;
		scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
		if(a==0)
		{
			bool arr[61]={0};
			int tot=1,tot2=1,tot3=query(1,1,100000,b,c,arr);
			for(int j=1;j<=60;j++) if(arr[j]) tot*=inv[j],tot2*=(prim[j]-1),tot%=mod,tot2%=mod;
			printf("%lld\n", tot3*tot2%mod*tot%mod);
		}
		else modify(1,1,100000,b,c);
	}
}