HDU 6091 - Rikka with Match

 思路

树形dp,设计状态如下:

 

设 $dp_u_i_0$表示 以点 u 为根的子树 最大匹配数模 m 为 i 时，且 u 点没有匹配的方案数

DP[u][i][1] 表示 以点 u 为根的子树 最大匹配数模 m 为 i 时，且 u 点匹配上的方案数

递推公式如下：

DP[u][k][0]（不匹配该节点） +=

　　∑ [i+j==k] 2 * DP[u][i][0] * DP[v][j][1]（此时u->v这条边连不连都不会影响到匹配集，所以*2） +

　　DP[u][i][0] * DP[v][j][0]（儿子已近匹配了）

DP[u][k][1]（该节点已经连了边） +=

　　 ∑ [i+j==k] 2 * DP[u][i][1] * ( DP[v][j][0] + DP[v][j][1] )

DP[u][k][1] （该节点现在正要连边）+=

　　∑ [i+j==k-1（预留出一个位用于匹配）] DP[u][i][0] * DP[v][j][0]（此时这条边必须存在并且u，v都不能匹配别的边）

参考自https://www.cnblogs.com/nicetomeetu/p/7360556.html

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
#define int long long
#define mod 998244353
#define N 50001
#define M 410
vector vec[N];
int dp[N][M][2],size[N]/*记录节点能最多能匹配多少边*/,temp[M][2]/*dp数组在更新中途不能更改，故用此数组代替*/,m;
void add(int u,int v)//使用边更新数组
{
    memset(temp,0,sizeof(temp));
    for(int i=0;i<=size[u];i++)//这里时间复杂度可以证明为n*m
    {
        for(int j=0;j<=size[v];j++)
        {
            temp[i+j][0]+=2*dp[u][i][0]*dp[v][j][1]+dp[u][i][0]*dp[v][j][0];
            temp[i+j][0]%=mod;
            temp[i+j][1]+=2*dp[u][i][1]*(dp[v][j][0]+dp[v][j][1]);
            temp[i+j][1]%=mod;
            temp[i+j+1][1]+=dp[u][i][0]*dp[v][j][0];
            temp[i+j+1][1]%=mod;
        }
    }
    for(int i=0;i<m;i++)//将temp复制到dp内
    {
        dp[u][i][0]=(temp[i][0]+temp[i+m][0])%mod;//i+j有可能超过n
        dp[u][i][1]=(temp[i][1]+temp[i+m][1])%mod;
    }
    size[u]=min(size[u]+size[v],m);//size[u]不能超过m,否则会数组出界。
}
void dfs(int id,int from)
{
    size[id]=1;
    dp[id][0][0]=1;
    for(int i=0;i<vec[id].size();i++)
    {
        int to=vec[id][i];
        if(to==from) continue;
        dfs(to,id);//树形dp的惯例，自底向上更新
        add(id,to);
    }
}
signed main()
{
    int n;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<n;i++) 
    {
        int a,b;
        scanf("%lld%lld",&a,&b);
        vec[a].push_back(b);
        vec[b].push_back(a);
    }
    dfs(1,0);
    cout<<(dp[1][0][0]+dp[1][0][1])%mod;
}