求幂算法

1.简单递归

最简单的求幂算法是根据xⁿ=x*x^n-1，使用递归：

def foo(x,n):
    if n==0:
        return 1
    else:
        return x*foo(x,n-1)

这样求x的n次方，会进行n-1次乘法运算，n较大时效率很低。

2.高效递归

一种更高效的算法，可以将运算次数降到LogN的级别，由于：

xⁿ=x^n/2*x^n/2 ， n为偶数时

xⁿ=x^(n-1)/2*x^(n-1)/2*x ， n为奇数时

def foo(x,n):
    if n==0:
        return 1
    else:
        if n%2==0:
            return foo(x,n/2)*foo(x,n/2)
        else:
            return foo(x,n/2)*foo(x,n/2)*x

可以将运算次数降到LogN的级别。

3.快速求幂

还有一种快速求幂算法，称为二进制法：

比如求x的21次方，21的二进制为10101,由于x²¹=x¹⁶*x⁴*x^1，可以看出根据二进制表示(10101)，每当遇到1时，则乘以x，从右向左前进一位则将x自乘。

def foo(x,n):
    result=1
    while n:
        if (n&1):
            result*=x
        x*=x
        n>>=1
    return result

这个算法用来计算非常的大的数时是十分高效的。例如有很多的素数测试算法都是依赖这个算法的不同变式。

4.抽象化

然后在某个地方我看到一个很有意思的想法，就是把上面的算法中的自乘函数化：

def foo(x,n,i,func):
    result=i
    while n:
        if (n&1):
            result=func(result,x)
        x=func(x,x)
        n>>=1
    return result
if __name__=='__main__':
    print foo(2,16,1,lambda x,y:x*y)

这样求x的n次方就能用foo(x,n,1,lambda x,y:x*y)来运算了。

如果求x*n，相当于将x自加n次，可以用foo(x,n,0,lambda x,y:x+y)来运算：

def foo(x,n,i,func):
    result=i
    while n:
        if (n&1):
            result=func(result,x)
        x=func(x,x)
        n>>=1
    return result
if __name__=='__main__':
    print foo(2,16,0,lambda x,y:x+y)

如果要把某个字符x重复n次，可以用：

def repeat(x,n,i,func):
    result=i
    while n:
        if (n&1):
            result=func(result,x)
        x=func(x,x)
        n>>=1
    return result
if __name__=='__main__':
    print repeat('a',16,'',lambda x,y:x+y)

把一个列表复制n次：

def repeat(x,n,i,func):
    result=i
    while n:
        if (n&1):
            result=func(result,x)
        x=func(x,x)
        n>>=1
    return result
if __name__=='__main__':
    print repeat([1,2],16,[],lambda x,y:x+y)

参考自：http://videlalvaro.github.io/2014/03/the-power-algorithm.html