NOIP2013 火柴排队 [洛谷P1966]

NOIP2013 火柴排队 [洛谷P1966]

题目描述

涵涵有两盒火柴，每盒装有 \(n\) 根火柴，每根火柴都有一个高度。 现在将每盒中的火柴各自排成一列， 同一列火柴的高度互不相同， 两列火柴之间的距离定义为：$ \sum (a_i-b_i)^2 $

其中 \(a_i\)​ 表示第一列火柴中第 \(i\) 个火柴的高度，\(b_i\) ​表示第二列火柴中第 \(i\) 个火柴的高度。

每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换，请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。请问得到这个最小的距离，最少需要交换多少次？如果这个数字太大，请输出这个最小交换次数对 999,999,97 取模的结果。

输入输出格式

输入格式：

共三行，第一行包含一个整数 \(n\) ，表示每盒中火柴的数目。

第二行有 \(n\) 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第一列火柴的高度。

第三行有 \(n\) 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第二列火柴的高度。

输出格式：

一个整数，表示最少交换次数对 99,999,997 取模的结果。

思路

求逆序对个数
有一个贪心策略是将 \(a\) 和 \(b\) 排序后形成的 \(a_i\) 与 \(b_i\) 的组合的 $ \sum (a_i-b_i)^2 $ 最小，这里不给出证明 其实我根本不会证明
因为在两个序列中进行交换是等价的，因此我们可以只对 \(b\) 序列进行交换
所以问题就转化为了求将 \(b\) 序列中每一个数移动到和 \(a\) 序列排序后和他对应的数的位置的最少次数
而求这个最少次数的方法是这样的
生成一个 \(ord[]\) 数组，这个数组的第 \(i\) 位代表的含义是：\(b\) 数组中第 \(i\) 个数在排序后对应在 \(a\) 数组中的那个数未排序时在 \(a\) 中原来的的位置
然后求 \(ord\) 数组的逆序对的个数
求逆序对数的方法有很多，可以用归并排序，线段树，如果你高兴的话平衡树也可以
我这里用了归并排序

CODE

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MOD 99999997
#define MAXN 100010
struct Node{
	int val,id;
	Node(){}
	Node(int val,int id):val(val),id(id){}
	bool operator < (const Node &a) const{
		return val<a.val;
	}
}a[MAXN],b[MAXN];
int ord[MAXN],tmp[MAXN];
int i,j,k,m,n,ans;
char readc;
void read(int &n){
	while((readc=getchar())<48||readc>57);
	n=readc-48;
	while((readc=getchar())>=48&&readc<=57) n=n*10+readc-48;
}
void mergesort(int l,int r){
	if(l==r) return;
	int mid=(l+r)>>1;
	mergesort(l,mid); mergesort(mid+1,r);
	int p1=l,p2=mid+1,cnt=l-1;
	while(p1<=mid&&p2<=r){
		if(ord[p2]<ord[p1]){
			tmp[++cnt]=ord[p2++];
			ans=(ans+mid-p1+1)%MOD;
		}else{
			tmp[++cnt]=ord[p1++];
		}
	}
	while(p1<=mid) tmp[++cnt]=ord[p1++];
	while(p2<=r) tmp[++cnt]=ord[p2++];
	for(int i=l;i<=cnt;i++) ord[i]=tmp[i];
}
int main(){
	read(n);
	for(i=1;i<=n;i++) read(a[i].val),a[i].id=i;
	for(i=1;i<=n;i++) read(b[i].val),b[i].id=i;
	sort(a+1,a+n+1);
	sort(b+1,b+n+1);
	for(i=1;i<=n;i++) ord[b[i].id]=a[i].id;
	ans=0;
	mergesort(1,n);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}