欧几里得算法，扩展欧几里得算法

欧几里得算法（辗转相除法）是用来求两个整数的最大公约数的一种算法

c++实现如下

int gcd(int a,int b){
     if(b==0) return a;
    else return gcd(b,a%b);         
}

至于为什么是正确的，看下面这两个图就会理解了，一个是gcd的演示动画，另一个是wikipedia上的证明，两条线段的单位长度表示最小公约数，依次，长的线段减去小的线段的长度，直到一条的长度为0，另一条的长度就是所要求的最小公约数；

gcd(欧几里得算法)只能求最大公约数，但是扩展gcd可以做很多的事情；

LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
    if(b==0){
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    LL ans=exgcd(b,a%b,x,y);
    LL temp=x;
    x=y;
    y=temp-a/b*y;
    return ans;
}

扩展gcd有很多方面的应用，如求乘法逆元，求解不定方程（a*x+b*y=c）,求解同余方程；

首先我们来解释一下exgcd，至少存在一对这样的整数（x,y）使得a*x+b*y=gcd(x,y);（是不是感觉很玄，事实上存在无数多对呢，重点在下面

如果存在a*x+b*y=c,则gcd(a,b) | c，否则不存在整数解，,这一点，额，很显然，额，那就这样吧 (●'◡'●)

a*x+b*y=gcd(a,b)   (1)

当gcd结束的时候a为两个数的最小公约数，b=0,对于这个时候的（1）来说存在x=1,y=0满足条件；

根据gcd的递推 a*x+b*y=gcd(a,b)

　　　　　　=gcd(b,a%b)

　　　　　　=b*x1+(a%b)*y1

　　　　　　=b*x1+(a-a/b*b)*y1

　　　　　　=a*y1+b*(x1-a/b*y1)     即x=y1,y=x1-a/b*y1;利用递推式就可以求出一个(1)的特解

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POJ 1061 青蛙的约会  http://poj.org/problem?id=1061

唉~~~，青蛙都有gf了,我却没有，好伤心，我的小女友   (；′⌒`)    

扩展欧几里得模板题，a+n*k-(b+n*k)=p*l,移项后（m-n）*k+p*l=a-b;

m,n,a,b.l.要满足gcd（(m-n),p）=a-b,//（a-b）可能是负值所以要对（a-b）特殊处理一下，

否则不存在，两只小青蛙将永远永远永远不会见面，嘤嘤嘤    ( ▼-▼ )

# include <cstdio>
# include <iostream>
# include <cstring>
# include <algorithm>
# include <cmath>
using namespace std;

typedef long long LL;

LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
    if(b==0) {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    LL ans=exgcd(b,a%b,x,y);
    LL temp=x;
    x=y;
    y=temp-a/b*y;
    return ans;
}

LL cal(LL a,LL b,LL c){
    LL x,y;
    LL gcd=exgcd(a,b,x,y);
    if(c%gcd!=0) return -1;
    x*=c/gcd;
    b/=gcd;
    if(b<0) b=-b;
    LL ans=x%b;
    if(ans<=0) ans+=b;
    return ans;
}

int main(){
    LL a,b,m,n,l;
    while(scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&m,&n,&l)!=EOF){
        LL ans=cal((n-m),l,(a-b));
        if(ans==-1) printf("Impossible\n");
        else printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

 

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HDU 2669 Romantic http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2669

好一道狗粮题，（இ௰இ）

gcd(a,b)=1，就可以了，如果找女朋友像这么简单就好了

# include <cstdio>
# include <iostream>
# include <cstring>
# include <algorithm>
# include <cmath>
using namespace std;

typedef long long LL;
LL n,m;

LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
    if(b==0) {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    LL ans=exgcd(b,a%b,x,y);
    LL temp=x;
    x=y;
    y=temp-a/b*y;
    return ans;
}

LL cal(LL a,LL b){
    LL x,y;
    LL gcd=exgcd(a,b,x,y);
    if(1%gcd!=0) return -1;
    b/=gcd;
    if(b<0) b=-b;
    LL ans=x%b;
    if(ans<=0) ans+=b;
    return ans;
}

int main(){
    while(scanf("%I64d %I64d",&m,&n)!=EOF){
        LL dw=cal(m,n),dd=(1-dw*m)/n;
        if(dw==-1) printf("sorry\n");
        else printf("%I64d %I64d\n",dw,dd);
    }
    return 0;
}

 

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HDU 1576 A/B http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1576

这题很巧，A能被B整除，gcd(9973，b)=1;

# include <cstdio>
# include <iostream>
# include <cstring>
# include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;
LL n,b;
int t;

LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
    if(b==0){
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    LL ans=exgcd(b,a%b,x,y);
    LL temp=x;
    x=y;
    y=temp-a/b*y;
    return ans;
}

LL cal(LL a,LL b,LL c){
    LL x,y;
    LL ans=exgcd(a,b,x,y);
    x*=n;
    return (x%9973+9973)%9973;
}

int main(){
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%lld %lld",&n,&b);
        LL ans=cal(b,9973,1);
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

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 SHU 423 密码破译 http://acmoj.shu.edu.cn/problem/423/

这道题需要一些额外的东西，传送门https://zh.wikipedia.org/wiki/RSA%E5%8A%A0%E5%AF%86%E6%BC%94%E7%AE%97%E6%B3%95

所以可以知道 d是e对于N的乘法逆元，N=（q-1）*（p-1）;

所以直接用快速幂计算出a的d次方mod（m）就可以了；

m可能会超过long long 的长度，所以乘的时候就要对m取模，题目保证结果小于min（p,q）

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int maxn=100+5;
LL c[maxn],n[maxn];
LL e,p,q,d,k;
LL m;

LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
    if(b==0) {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    LL ans=exgcd(b,a%b,x,y);
    LL temp=x;
    x=y;
    y=temp-a/b*y;
    return ans;
}

LL cal(LL a,LL b){
    LL x,y;
    LL gcd=exgcd(a,b,x,y);
    LL ans=x%b;
    if(ans<0) ans+=b;
    return ans;
}

LL qplus(LL a,LL b, LL M){
    LL ans=0;
    while(b){
        if(b&1) ans+=a%M;
        a+=a%M;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

LL qpow(LL a,LL x,LL M){
    LL ans=1;
    while(x){
        if(x&1) ans=qplus(ans,a,M);
        a=qplus(a,a,M);
        x>>=1;
    }
    return ans%M;
}

int main(){
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%lld%lld%lld%lld",&e,&p,&q,&k);
        LL N=(p-1)*(q-1);
        LL d=cal(e,N);
        m=q*p;
        for(int i=1;i<=k;i++){
            scanf("%lld",&c[i]);
            n[i]=qpow(c[i],d,m);
        }
        for(int i=1;i<k;i++) printf("%lld ",n[i]);
        printf("%lld\n",n[k]);
    }
    return 0;
}