【算法笔记】一大堆的筛法

·前置芝士

·积性函数

​ ·定义：对于任意互质的整数a和b有性质\(f\left ( a\times b \right ) = f\left ( a \right ) \times f\left ( b\right )\)的数论函数
字面意思，就是以\(a \times b\)形式呈现的函数

· （其他）完全积性函数：对于任意整数a和b有性质\(f\left ( a\times b \right ) = f\left ( a \right ) \times f\left ( b\right )\)的数论函数

​ ·举例：
\(φ(n)\) 欧拉函数，代表小于等于n的数中与n互质的数的数目
\(μ(n)\) 莫比乌斯函数，看n有无平方数因数
\(gcd(n,k)\) 最大公因数，k固定
\(d(n)\) 正因子数目
\(σ(n)\) 正因子之和
\(λ(n)\) 能整除n的质因子数
·更多看
积性函数百度百科

​ ·性质：
1）将n表示为\(n=p_{1}^{a_{1}} \times p_{2}^{a_{2}} \times p_{3}^{a_{3}}...\times p_{k}^{a_{k}}\)，则有\(f(n)=f(p_{1}^{a_{1}}) \times f(p_{2}^{a_{2}}) \times f(p_{3}^{a_{3}})...\times f(p_{k}^{a_{k}})\)
2)若f为积性函数且有\(f(p^{n})=f^{n}(p)\)，则f为完全积性函数

·正文

·筛法合集

1）\(O(n\sqrt{ n})\) 暴力筛法(n<=2e5)
一个一个判断是否有因数，然后筛，是最常用的方法（确信
有些时候复杂度相当小，还是很方便的
不放代码了

2）\(O(nlog_{2}n)\) 埃氏筛(n<=1e6)
第二个比较经典的写法，对于每一个数筛去它的倍数
均摊下来复杂度如上

3）\(O(n)\) 欧拉筛(n<=1e8，当然了空间会炸)
线性筛，在2）的基础上优化得到的东西

    vis[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!vis[i])p[++cnt]=i;
         for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;j++){
            vis[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0)break;
        }
    }

以上三种是非常常用的写法，我们一般用这些就可以搞大部分的题目了。
然而，毒瘤出题人常常会把数据范围出的非常阴间（不过会有一些特殊性质）。这时候我们就需要一些别的筛法了。

4）Min_25筛

\(O(\frac{n^{0.75}}{\log n})\) 专用于求前缀和的筛法
快乐的东西。大致做法：
①对所有\(x=\lfloor\frac nd\rfloor\)筛出不超过x的所有质数的f值之和
②求解原问题，即所有\(x=\lfloor\frac nd\rfloor\)筛出不超过x的所有数的f值之和
例子：loj6235

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,ans=0,f,pos[1000010],k=0,cnt=0,g[1000010];
int id(long long x){
	if(x<=f)return x;
	else return k-n/x+1;
}
int main(){
	scanf("%lld",&n);
	f=sqrt(n);
	for(long long i=1;i<=n;i=pos[k]+1){
		pos[++k]=n/(n/i);
		g[k]=pos[k]-1;
	}
	for(int i=2;i<=f;i++)
	    if(g[i]!=g[i-1]){
	    	cnt++;
	    	for(int j=k;pos[j]>=1ll*i*i;j--)
			    g[j]-=(g[id(pos[j]/i)]-cnt+1);
		}
	printf("%lld\n",g[k]);
}