【2022 CCPC Henan Provincial Collegiate Programming Contest #K】复合函数
K.复合函数
输入文件： standard input
输出文件： standard output
时间限制： 1 second
空间限制： 512 megabytes
给定正整数\(n\)，并记\(I_n={1,2,\cdots,n}\)。
给定一个定义在\(I_n\)上的函数\(f\)，满足对于任意\(x\in I_n\)有\(f(x)\in I_n\)。
对于任意正整数\(k\)，当\(k \gt 1\)时定义\(f^k(x)=f(f^{k−1}(x))\)，特殊地，当\(k = 1\)时定义\(f^1(x)=f(x)\)。
现有\(q\)组询问，每组询问给定两个正整数\(a,b\)，试求出有多少个\(x \in I_n\)满足\(f^a(x)=f^b(x)\)。
输入格式
第一行，一个正整数\(n(1 \leq n \leq 10^5)\)，表示\(f\)的定义域的大小。
第二行，\(n\)个正整数\(f(1),f(2),\cdots,f(n)(1 \leq f(x) \leq n)\)，表示函数\(f\)的取值。
第三行，一个正整数\(q(1 \leq q \leq 10^5)\)，表示询问组数。
接下来\(q\)行，每行两个正整数\(a,b(1 \leq a,b \leq 10^{18}）\)，表示一组询问。
输出格式
输出共\(q\)行。对于每组询问，输出一行，一个整数，表示满足\(f^a(x)=f^b(x)\)的\(x\)的个数。
样例
| standart input | standart output |
|---|---|
| 1 1 1 1 1 |
1 |
| 6 1 1 4 5 1 4 5 1 919810 19 19810 191 9810 1919 810 19198 10 |
3 6 6 6 6 |
题解
因为值域和定义域都为\([1,n]\)，所以我们可以把函数看成每个\(x\)节点连一条边到\(f(x)\)的图。
那么我们得到的图就是数个环在加上一些指向环的“链”。
那么对于每个环上的节点，只要\(|a-b|\)是环的大小的倍数，这个点就能被计入答案，而对于那些不在环上的点，当它们经过一定步数后进入环，然后被计入答案的条件就和环上的节点一样了，但是需要它先进入环，也就是说这种节点多了个限制条件，也就是\(a\)（我们不妨令\(a \lt b\)）必须大于等于这个几点进入环需要的步数。
下面我们先考虑只有环的情况，我们可以用\(ans[i]\)表示在环的大小为\(i\)的环上的节点有多少个，我们可以推出不同大小的环的数量最多为\(\sqrt{n}\)，那么我们就能做到\(O(q\sqrt{n})\)了。
接下来考虑不全是环的情况，那么就会有点存在限制，我们可以用\(ans[i][j]\)表示最终走到的环的大小为\(i\)，限制为\(j\)的节点的个数。
但这样直接枚举的话我们的时间复杂度就又退化到\(O(qn)\)了。
因为只要限制小于等于\(a\)的节点都有可能被计入答案，所以我们维护一下前缀和，\(ans[i][j]\)表示最终走到的环的大小为\(i\)，限制小于等于\(j\)的节点的个数。
注意：当\(a=b\)的时候，不需要满足限制就能被计入答案，需要特判。
上代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,q;
int to[100009];
int s[100009],di[100009];
vector<int>ans[100009];
int lans[100009];
bool k[100009];
long long a,b;
int qwe;
void add(int u,int v){
if(to[u]!=qwe){
add(to[u],v+1);
s[u]=s[to[u]];
}else{
s[u]=v;
if(lans[v]==0){
ans[v].push_back(v);
lans[v]++;
}
else ans[v][0]+=v;
}
}
void dfs(int u){
k[u]=1;
if(k[to[u]]){
qwe=to[u];
add(to[u],1);
}
else if(s[to[u]]==0){
dfs(to[u]);
}
if(s[u]==0){
di[u]=di[to[u]]+1;
s[u]=s[to[u]];
if(lans[s[u]]<=di[u]){
ans[s[u]].push_back(1);
lans[s[u]]++;
}
else ans[s[u]][di[u]]++;
}
k[u]=0;
}
long long pp[100009];
int lp;
int main() {
scanf("%d",&n);
for(int j=1;j<=n;j++)
scanf("%d",&to[j]);
for(int j=1;j<=n;j++)
if(s[j]==0) dfs(j);
scanf("%d",&q);
for(int j=1;j<=n;j++)
if(lans[j]!=0){
pp[++lp]=j;
for(int i=1;i<lans[j];i++){
ans[j][i]+=ans[j][i-1];
}
}
while(q--){
scanf("%lld%lld",&a,&b);
if(a>b) swap(a,b);
int sum=0;
for(int j=1;j<=lp;j++){
if(a==b) sum+=ans[pp[j]][lans[pp[j]]-1];
else if((b-a)%pp[j]==0){
if(a>=lans[pp[j]]-1) sum+=ans[pp[j]][lans[pp[j]]-1];
else sum+=ans[pp[j]][a];
}
}
printf("%d\n",sum);
}
return 0;
}
