【NOI2012】随机数生成器
随机数生成器
题目描述
栋栋最近迷上了随机算法,而随机数生成是随机算法的基础。栋栋准备使用线性同余法(Linear Congruential Method)来生成一个随机数列,这种方法需要设置四个非负整数参数\(m\),\(a\),\(c\),\(X_0\),按照下面的公式生成出一系列随机数 \(\{X_n\}\):
\(X_{n+1}=\)(\(aX_n+c\))\(mod\ m\)
其中\(mod\ m\)表示前面的数除以\(m\)的余数。从这个式子可以看出,这个序列的下一个数总是由上一个数生成的。
用这种方法生成的序列具有随机序列的性质,因此这种方法被广泛地使用,包括常用的 C++和 Pascal 的产生随机数的库函数使用的也是这种方法。
栋栋知道这样产生的序列具有良好的随机性,不过心急的他仍然想尽快知道\(X_n\)是多少。由于栋栋需要的随机数是\(0\),\(1\),…,\(g-1\)之间的,他需要将\(X_n\)除以\(g\)取余得到他想要的数,即\(X_n\ mod\ g\),你只需要告诉栋栋他想要的数\(X_n\ mod\ g\)是
多少就可以了。
输入格式
一行\(6\)个用空格分割的整数\(m\),\(a\),\(c\),\(X_0\),\(n\)和\(g\),其中\(a\),\(c\),\(X_0\)是非负整数,\(m\),\(n\),\(g\) 是正整数。
输出格式
输出一个数,即\(X_n\ mod\ g\)。
样例输入
11 8 7 1 5 3
样例输出
2
数据范围
对于所有数据,\(n \ge 1\),\(m \ge 1\),\(a \ge 0\),\(c \ge 0\),\(X_0 \ge 0\),\(1 \ge g \ge 10^8\)。
题解
题目很明显告诉你了\(X_n\)递推的性质,那么这道题很容易想到矩阵快速幂来加速。
矩阵的构造如下:
因为\(X_n\)的递推式里有一个常数\(c\)所以我们这里要加以个常数\(1\)来保证能传递。
上代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long m,a,c,x0,n,g;
struct aa{
long long a[9][9];
};
long long kk(long long x,long long y){
long long ans=0,u;
int t=0;
while(y){
if(y&1) ans=(ans+x)%m;
x<<=1;
x%=m;
y>>=1;
}
return ans;
}
aa cc(aa x,aa y){
aa ans;
for(int j=1;j<=2;j++)
for(int i=1;i<=2;i++)
ans.a[j][i]=(kk(x.a[j][1],y.a[1][i])+kk(x.a[j][2],y.a[2][i]))%m;
return ans;
}
aa ksm(aa x,long long p){
aa ans;
for(int j=1;j<=2;j++)
for(int i=1;i<=2;i++)
ans.a[j][i]=(j==i);
while(p){
if(p&1) ans=cc(ans,x);
x=cc(x,x);
p>>=1;
}
return ans;
}
int main(){
scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&m,&a,&c,&x0,&n,&g);
x0%=m;
aa x;
x.a[1][1]=a;
x.a[1][2]=c;
x.a[2][1]=0;
x.a[2][2]=1;
aa ans=ksm(x,n);
printf("%lld\n",((kk(ans.a[1][1],x0)+ans.a[1][2])%m)%g);
return 0;
}