【洛谷P3390】（模板）矩阵快速幂

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（模板）矩阵快速幂

题目背景

矩阵快速幂

题目描述

给定\(n\times n\)的矩阵\(A\)，求\(A^k\)。

输入格式

第一行两个整数\(n,k\)接下来\(n\)行，每行\(n\)个整数，第\(i\)行的第\(j\)的数表示\(A_{i,j}\)。

输出格式

输出\(A^k\)共\(n\)行，每行\(n\)个数，第\(i\)行第\(j\)个数表示\((A^k)_{i,j}\)，每个元素对\(10^9+7\)取模。

样例输入

2 1
1 1
1 1

样例输出

1 1
1 1

说明/提示

【数据范围】
对于\(100\%\)的数据：\(1\le n \le 100\)，\(0 \le k \le 10^{12}\),\(|A_{i,j}| \le 1000\)

题解

明显这是一道矩阵快速幂的板题，下面先介绍一下矩阵快速幂吧。
矩阵快速幂就是把矩阵乘法和快速幂结合一下。
对于矩阵的计算，这里就讲一下矩阵乘法，其他运算就不赘述了。
对于两个矩阵\(A\)，\(B\)，它们的行数和列数分别为\(ax,ay,bx,by\)。
要能进行\(A \times B\)，需要满足\(ay=bx\)，
\(A \times B\)的结果是矩阵\(C\)，\(C\)的行数和列数分别为\(ax,by\)，\(C_{j,i}=\sum^{ay}_{k=1}A_{j,k}*B_{k,i}\)。
也就是说\(C\)的第\(i\)行第\(j\)列等于\(A\)的第\(i\)行和\(B\)的第\(j\)列，各个对应的数的乘积的和。
关于快速幂的话想必大家都会了，那么我们只要定义一个\(struct\)来存储矩阵，然后重载一下运算符，就和普通的快速幂没有区别了。
如果不会重载运算符的话也可以写一个函数。
注意：因为中间有乘法，所以要开\(long\ long\)，还要记得取模，刚开始打的时候取模少了一个\(0\)，调了半天o(╥﹏╥)o
上代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define mod 1000000007
using namespace std;
int n;
long long k;
struct aa{
	long long a[109][109];
	aa operator * (aa x){
		aa uans;
		for(int j=1;j<=n;j++)
			for(int i=1;i<=n;i++){
				uans.a[j][i]=0;
				for(int p=1;p<=n;p++)
					uans.a[j][i]=(uans.a[j][i]+a[j][p]*x.a[p][i]%mod)%mod;
			}
		return uans;
	}
};
aa ksm(aa x,long long p){
	aa uans;
	for(int j=1;j<=n;j++)
		for(int i=1;i<=n;i++)
			if(i==j) uans.a[j][i]=1;
			else uans.a[j][i]=0;
	while(p){
		if(p&1) uans=uans*x;
		x=x*x;
		p>>=1;
	}
	return uans;
}
int main(){
	scanf("%d%lld",&n,&k);
	aa a;
	for(int j=1;j<=n;j++)
		for(int i=1;i<=n;i++)
			scanf("%lld",&a.a[j][i]);
	aa ans=ksm(a,k);
	for(int j=1;j<=n;j++){
		for(int i=1;i<=n;i++)
			printf("%lld ",ans.a[j][i]);
		puts("");
	}
	return 0;
}