《剑指 Offer》学习记录：题 3：数组中的重复数字
题 3_1：找出数组中重复的数字
题干
在一个长度为 n 的数组里的所有数字都在 0 到 n-1 的范围内。数组中某些数字是重复的，但不知道有几个数字重复了，也不知道每个数字重复了几次。请找出数组中任意一个重复的数字。例如，如果输入长度为 7 的数组{2, 3, 1, 0, 2, 5, 3}，那么对应的输出是重复的数字 2 或者 3。——《剑指 Offer》P39
测试用例
- 长度为 n 的数组里包含一个或多个重复的数字；
- 数组中不包含重复的数字；
- 无效输入测试用例，例如输入空指针、数组中包含 0～n-1 之外的数字。
法一：快速排序
解法思想
这种方法非常简单粗暴，也就是无论数组的结构如何，直接使用某种排序算法对数组进行排序。这么做可以直接把相同的数据聚集到一起，只需要对数组进行遍历即可求解。
解题代码
int findRepeatNumber(vector<int>& nums) {
//调用 sort 函数对 vector 容器排序
sort(nums.begin(),nums.end());
for(int i = 0;i < nums.size()- 1; i++)
{
if(nums[i] == nums[i + 1])
{
return nums[i];
}
}
return -1;
}
时空复杂度
时间复杂度取决于使用的排序算法，例如使用冒泡、选择排序时间复杂度是 O(n^2)，使用快速排序或堆排序时间复杂度是 O(n㏒n)。遍历数组的时空复杂度为 O(n)，因此得到算法的 T(n㏒n + n)，时间复杂度为 O(n)。
由于这种解法直接对原数组进行修改，没有借助其他的辅助空间，因此空间复杂度为 O(1)。
法二：hash
解法思想
hash 就是数据保存的存储位置和关键字之间存在一个映射关系，使得关键字可以和存储位置直接对应起来。用人话讲，也就是可以另外开辟一个长度为 n 的数组作为计数表，由于传入的数组的每个数据元素的范围在 0~n-1 之间，因此可以用这个数组的 n 个位置的 index 分别对应一个数字，用 num[index] 存储某个数字出现的次数。
制作出这样的 hash 表之后就很简单了，只需要遍历传入的数组并计数，若某个数字统计到了 2 次即为重复数据。当然也可以用 Set 容器或 Map 容器实现计数操作，原理也是一样的。
解题代码
int findRepeatNumber(vector<int>& nums) {
int hash[nums.size()]; //构造 nums.size 大小的 hash
memset(hash, 0, sizeof hash); //初始化
for(int i = 0; i < nums.size(); i++)
{
if(++hash[nums[i]] > 1)
{
return nums[i]; //返回数量大于 1 的数据元素
}
}
return -1;
}
时空复杂度
由于这种解法使用了空间换时间的思想，仅需要对传入的数组进行遍历，因此时间复杂度为 O(n)。
这种写法需要申请一个和传入数组相同大小的数组作为辅助空间，辅助空间的大小为 nums.size()，因此空间复杂度为 O(n)。
法三：元素置换
解法思想
这种方法比较巧妙，不需要申请额外空间的情况下可以实现时间复杂度为 O(n)。由于传入的数组大小为 n，而数据范围在 0 ~ n-1。因此当我们对数组进行排序时，若数组中没有重复的数据，数组中的每一个数据元素将会和 index 相等。根据这个结论，可以对数组进行遍历，将数组中的每个元素通过交换的方式放到对应的 index 位置上。设数组中的某个元素为 num[i]，若 num[i] == num[num[i]] 则说明数组中存在重复数据。
例如输入长度为 7 的数组{2, 3, 1, 0, 2, 5, 3}，则遍历数组当 index = 0 时需要执行 4 次交换操作才能把数据 0 移动到 index = 0 的位置上。
当 index = 1 时，由于 num[1] = 1 已经归位，可以直接向下遍历。
同理当 index = 2、3 时，由于 num[2] = 2、num[3] = 3 已经归位，可以直接向下遍历。
当 index = 4 时，由于 num[4] = 2 = num[2] = num[num[4]]，说明出现了重复的数据，求得了这个问题的解。
解题代码
int findRepeatNumber(vector<int>& nums) {
int temp = 0;
for(int i = 0; i < nums.size(); i++)
{
while(i != nums[i])
{
if(nums[nums[i]] == nums[i]) //数据重复
{
return nums[i];
}
//将 num[i] 通过交换的方式放回 num[num[i]]
temp = nums[i];
nums[i] = nums[temp];
nums[temp] = temp;
}
}
return -1;
}
时空复杂度
这种写法本质上是把每个数据元素通过交换的方式，替换回和其相等的 index 的位置，因此需要进行 num.size 次交换操作，时间复杂度为 O(n)。
由于这种解法直接对原数组进行修改，没有借助其他的辅助空间，因此空间复杂度为 O(1)。
题 3_2：找出数组中重复的数字
题干
在一个长度为 n+1 的数组里的所有数字都在 0 到 n-1 的范围内，所以数组中至少有一个数字是重复的。请找出数组中任意一个重复的数字，但不能修改输入的数组。例如，如果输入长度为 8 的数组{2, 3, 5, 4, 3, 2, 6, 7}，那么对应的输出是重复的数字 2 或者 3。——《剑指 Offer》P41
测试用例
- 长度为 n 的数组里包含一个或多个重复的数字；
- 数组中不包含重复的数字；
- 无效输入测试用例(输入空指针)。
解法思想
这道题目是 3_1 的变种，此时数组中至少有一个重复的数据，但是不能对数组进行修改。可以把数组拷贝一份之后做快速排序，但是这么做就达不到解题的目的了。使用 hash 进行计数也是不错的方法，这种方法的时间复杂度是 O(n)，空间复杂度也是 O(n)。如果不借助辅助空间的话，可以利用二分查找思想进行搜索。假设数组 nums 的长度为 n，若数组中数字范围在 [0,n/2) 的数字元素个数等于 n/2，就说明数字范围在 [0,n/2) 的数字不存在重复，在 (n/2,n] 范围内有重复。若数组中数字范围在 [0,n/2) 的数字元素个数大于 n/2，就说明数字范围在 [0,n/2) 的数字存在重复。反复使用二分的思想缩小解空间的范围，最终就可以找到重复的数据元素。
解题代码
int findRepeatNumber(vector<int>& nums) {
int low = 0;
int high = nums.size() - 1;
int mid = (low + high) / 2;
int count;
while(low <= high)
{
count = 0;
for(int i = 0; i < nums.size(); i++)
{
//统计 low ~ mid 范围内元素的个数
if(nums[i] >= low && nums[i] <= mid)
count++;
}
if(low == high) //找到重复或数组无重复
break;
else if(count <= (mid - low + 1)) //low ~ mid 范围内无重复
low = mid + 1;
else //low ~ mid 范围内有重复
high = mid;
}
if(count > 1) //找到重复数据
return nums[mid];
else //数组无重复
return -1;
}
时空复杂度
这种写法是按照二分查找的思想进行求解的，因此总共会遍历 ㏒n 次数组，每次遍历数组的时间复杂度为 O(n)，因此总的时间复杂度为 O(n㏒n)。
由于这种解法没有修改原数组，也没有借助其他的辅助空间，因此空间复杂度为 O(1)。
参考资料
《剑指 Offer(第2版)》，何海涛 著，电子工业出版社
把数组视为哈希表，找到重复的数就是发生了哈希冲突
算法：排序
