数据结构：AVL 树
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说说“平衡”
《Ballance》平衡球是由德国的雅达利公司旗下的单机滚球游戏，在游戏中，玩家要操纵一个可以改变自身材料种类的球在高空或太空中搭建的庞大而复杂的迷宫建筑中穿梭，避开陷阱机关并破解一个个谜题，最终到达终点飞船以完成一个关卡。游戏搭载了非常还原、真实的物理引擎使得球的操纵手感非常接近对现实生活中的认知，玩家也能够充分体验重力对平衡性的影响。
显然我不是来向你推荐游戏的，而且在我上小学时，这个游戏我连半个小时都没玩到就卸载了。我只想提一下平衡这回事在生活中无处不在，而且还有很大的学问。在物理学中，指惯性参照系内，物体受到几个力的作用，仍保持静止状态，或匀速直线运动状态，或绕轴匀速转动的状态，叫做物体处于平衡状态。在化学中，化学平衡是指在宏观条件一定的可逆反应中，化学反应正逆反应速率相等，反应物和生成物各组分浓度不再改变的状态。对于心理学，平衡是指不断成熟的内部组织和外部组织的相互作用。对于健康而言，平衡是指人在身体、心理等方面的良好状态……
对于数据结构，我们也可以渗透平衡的概念。如果我们建立的二叉排序树是一个斜树，那么查找的过程与线性查找没有太大区别，效率依旧很恐怖。我们所希望的是，二叉搜索树的每一个子树中，结点的分布都是呈现左右子树的结点分布尽量深度较小且个数相等，最好是优雅的“平衡状态”。
AVL 树
什么是 AVL 树
二叉排序树的形状取决于数据集，当二叉树的高度越小、结构越合理，搜索的性能就越好，时间复杂度 O(log2n)。G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在1962年的论文《An algorithm for the organization of information》中发表了一种名为 AVL 树的数据结构，它就能很好地解决这个问题。AVL 树具有以下 2 个性质：
- 左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过 1；
- 左子树和右子树通通都是 AVL 树。
其中为了度量左右子树的深度之差，我们引入平衡因子 (BF)"的概念。例如下面的二叉搜索树的平衡因子为：
对于一棵 AVL 树，里面的所有结点的平衡因子只能取值于：-1、0、1。
ASL 度量查找效率
为了更好地理解 AVL 树，请认真观察下面 2 个二叉搜索树，我们发现第二个二叉搜索树是 AVL 树，树的高度更小，查找的比较次数也更少，效率更高。
现在计算一下该 AVL 树的 ASL：
ASL(成功)：(1 + 2 × 2 + 3 × 4) ÷ 6 = 17/6
ASL(失败)：4 × 8 ÷ 8 = 4
和上一篇博客相同数据的二叉搜索树对比，发现无论是成功还是失败的 ASL，AVL 树的都较小，说明效率更高。
结构体定义
typedef struct BiTNode
{
int data;
int bf; //平衡因子
struct BiTNode *lchild, *rchild;
}BiTNode, *BiTree;
平衡调整
调整类型
由于二叉搜索树的结点是一个一个插入的，在插入时可能会造成结点的平衡因子的绝对值超过 1。造成失衡一共有 4 种情况：RR 型、LL 型、RL 型、LR 型，如图所示：
虽然有 4 种情况，但是需要遵循的原则是一样的——在尽可能减小高度的前提下，保持二叉搜索树的性质。下面就看一下 4 种情况的调整示意图，不难发现都是遵循这个原则进行调整的。
需要注意的是，当有多个结点失衡时，需要选择最小失衡子树来调整。
左旋和右旋
右旋
右旋可以形象地理解为把最上面的结点掰下来，这种操作称之为“右旋”。右旋操作后指向新的根结点，即操作之前的根结点的左结点。
void R_Rotate(BiTree &T)
{
BiTree L; //L 表示 T 的左子树
L = T->lchild; //L 指向 T 的左子树
T->lchild = L->rchild; //T 的左子树更改为 T 的左子树的右子树
L->rchild = T; //T 的左子树的右子树修改为 T
T = ptr; //根结点修改为右旋之前 T 的左子树
}
左旋
对于 RR 型的调整，可以形象地理解为把最上面的结点掰下来，这种操作称之为“左旋”。左旋操作后指向新的根结点，即操作之前的根结点的右结点。
void L_Rotate(BiTree &T)
{
BiTree R; //R 表示 T 的右子树
R = T->rchild; //R 指向 T 的右子树
T->rchild = R->lchild; //T 的右子树更改为 T 的右子树的左子树
R->lchild = T; //T 的右子树的左子树修改为 T
T = R; //根结点修改为左旋之前 T 的右子树
}
左、右平衡调整
左平衡调整
这个函数为左平衡旋转，将 RL 型和 LL 型进行判断和操作。需要考虑涉及结点所连接的子树，对每个结点的 BF 都进行修正。
void LeftBalance(BiTree &T)
{
BiTree L; //L 表示 T 的左子树
BiTree Lr; //Lr 表示 L 的右子树
L = T->lchild; //L 指向 T 的左结点
switch(L->bf) //根据 T 的左子树的 BF 作相应平衡处理
{
case 1: //LL 型，新结点插入在 T 的左结点的左子树
T->bf = L->bf = 0; //修正 BF 均为 0
R_Rotate(T); //右旋操作
break;
case -1: //RL 型，新结点插入在 T 的左结点的右子树，要做双旋操作
Lr = L->rchild; //Lr 指向示 L 的右结点
switch(Lr->bf) //修正 T 及其左结点的平衡因子
{
case 1: //Lr 平衡因子为 1
T->bf = -1;
L->bf = 0;
break;
case 0: //Lr 平衡因子为 0
T->bf = L->bf = 0;
break;
case -1: //Lr 平衡因子为 -1
T->bf = 0;
L->bf = 1;
break;
}
Lr->bf = 0; //修正 Lr 平衡因子为 0
L_Rotate(T->lchild); //对 T 的左子树作左旋操作
R_Rotate(T); //对 T 作右旋操作
}
}
右平衡调整
这个函数为右平衡旋转，将 LR 型和 RR 型进行判断和操作。需要考虑涉及结点所连接的子树，对每个结点的 BF 都进行修正。
void RightBalance(BiTree &T)
{
BiTree R; //L 表示 T 的右子树
BiTree Rl; //Rl 表示 R 的左子树
R = T->rchild; //R 指向 T 的右结点
switch(R->bf) //根据 T 的右子树的 BF 作相应平衡处理
{
case -1: //RR 型，新结点插入在 T 的左结点的左子树
T->bf = R->bf = 0; //修正 BF 均为 0
L_Rotate(T); //右旋操作
break;
case 1: //LR 型，新结点插入在 T 的右结点的左子树，要做双旋操作
Rl = R->lchild; //Rl 指向示 L 的左结点
switch(Rl->bf) //修正 T 及其右结点的平衡因子
{
case -1: //Rl 平衡因子为 -1
T->bf = 1;
R->bf = 0;
break;
case 0: //Rl 平衡因子为 0
T->bf = R->bf = 0;
break;
case 1: //Rl 平衡因子为 1
T->bf = 0;
R->bf = -1;
break;
}
Rl->bf = 0; //修正 Rl 平衡因子为 0
R_Rotate(T->rchild); //对 T 的右子树作右旋操作
L_Rotate(T); //对 T 作左旋操作
}
}
插入数据
要插入一个数据，首先需要判断这个数据是否已存在，若在 AVL 树中不存在要插入的数据，则执行插入操作。函数将通过递归找到合适的插入位置，如果在插入时出现失去平衡的情况，要进行对应的平衡旋转处理。
bool InsertAVL(BiTree &T,int e,bool &taller)
{ //taller 表示树的高度是否发生变化
if(T == NULL) //若传入的 T 为空树，将创建根结点
{
T = new BiTNode;
T->data = e;
T->bf = 0;
T->lchild = T->rchild = NULL;
taller = true; //表示树的高度是否发生变化
}
else
{
if (e == T->data) //和 e 有相同数据的结点已存在
{
taller = false;
return false;
}
if (e < T->data) //进入左子树搜索插入位置
{
if(InsertAVL(T->lchild, e, taller) == false) //结点已存在
{
return false;
}
if(taller == true) //数据插入 T 的左子树中并且高度发生变化
{
switch(T->bf) //检查 T 的 BF 判断是否调整
{
case 1: //原本左子树比右子树高，需要进行左平衡处理
LeftBalance(T); //左平衡处理
taller = false;
break;
case 0: //原本左、右子树等高，仍保持平衡，修正 BF
T->bf = 1;
taller = true;
break;
case -1: //原本右子树比左子树高，仍保持平衡，修正 BF
T->bf = 0;
taller = false;
break;
}
}
}
else //进入右子树搜索插入位置
{
if(InsertAVL(T->rchild, e, taller) == false) //结点已存在
{
return false;
}
if(taller == true) //数据插入 T 的左子树中并且高度发生变化
{
switch(T->bf) //检查 T 的 BF 判断是否调整
{
case 1: //原本右子树比左子树高，仍保持平衡，修正 BF
T->bf = 0;
taller = false;
break;
case 0: //原本左、右子树等高，仍保持平衡，修正 BF
T->bf = -1;
taller = true;
break;
case -1: //原本右子树比左子树高，需要进行右平衡处理
RightBalance(T);
taller = false;
break;
}
}
}
}
return true;
}
建立 AVL 树
模拟建 AVL 树
按照整数序列 {4,5,7,2,1,3,6} 依次插入的顺序构造相应平衡二叉树。
首先结点 4 加入 AVL 树成为根结点。
结点 5 加入 AVL 树。
结点 7 加入 AVL 树，此时结点 4 的平衡因子为 -2，需要进行调整。
进行 RR 型调整。
结点 2 加入 AVL 树。
结点 1 加入 AVL 树，此时结点 4 的平衡因子为 2，需要进行调整。
进行 LL 型调整。
结点 3 加入 AVL 树，此时结点 5 的平衡因子为 2，需要进行调整。
进行 LR 型调整。
结点 6 加入 AVL 树，此时结点 5 的平衡因子为 -2，需要进行调整。
进行 RL 型调整。
到此为止，AVL 树建立完毕。
代码实现
int main()
{
int count; //数据元素的个数
BiTree T = NULL;
bool taller,flag; //taller 反映 T 的高度是否变化
int a_num; //暂存输入数据
cin >> count;
for(int i = 0; i < count; i++)
{
cin >> a_num;
flag = InsertAVL(T, a_num, taller); //向 AVL 树中插入 a_num
}
return 0;
}
参考资料
《大话数据结构》—— 程杰 著，清华大学出版社
《数据结构(C语言版|第二版)》—— 严蔚敏 李冬梅 吴伟民 编著，人民邮电出版社
