[bzoj2301] [HAOI2011] Problem b

Description###

对于给出的n个询问，每次求有多少个数对(x,y)，满足a≤x≤b，c≤y≤d，且gcd(x,y) = k，gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。

Input###

第一行一个整数n，接下来n行每行五个整数，分别表示a、b、c、d、k

Output###

共n行，每行一个整数表示满足要求的数对(x,y)的个数

Sample Input###

2

2 5 1 5 1

1 5 1 5 2

Sample Output###

14

3

HINT###

100%的数据满足：1≤n≤50000，1≤a≤b≤50000，1≤c≤d≤50000，1≤k≤50000

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想法##

参考PopoQQQ
把每个查询拆成4个形如 1≤x≤n，1≤y≤m 的查询
设 \(f(i)\) 表示有多少满足 \(gcd(x,y)=k\) 的数对
设 \(F(i)\) 表示有多少满足 \(gcd(x,y)\) 为k的倍数的数对
显然 \(F(i)=f(i)+f(2i)+…\)
且 \(F(i)=\lfloor \frac{n}{i} \rfloor \lfloor \frac{m}{i} \rfloor\)
那么就可以用莫比乌斯反演了

\[\begin{equation*} \begin{aligned} f(i)&=\sum\limits_{n|d} \mu(\frac{d}{n})F(d) \\ &=\sum\limits_{n|d} \mu(\frac{d}{n}) \lfloor \frac{n}{i} \rfloor \lfloor \frac{m}{i} \rfloor \\ \end{aligned} \end{equation*} \]

可以发现 \(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor \lfloor \frac{m}{i} \rfloor\) 只有 \(2 \sqrt{n} \sqrt{m}\)个值
于是可以分块，枚举每个值，记下 \(\mu(i)\) 的前缀和算一下就好了。

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代码##

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
 
using namespace std;
 
typedef long long ll;
const int N = 50005;
 
int mu[N],prime[N],pnum,p[N];
int sum[N];
void getmu(){
    mu[1]=1;
    sum[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++) p[i]=1;
    for(int i=2;i<N;i++){
        if(p[i]) {
            prime[pnum++]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=0;j<pnum && (ll)prime[j]*i<N;j++){
            p[i*prime[j]]=0;
            if(i%prime[j]==0){
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;                  
            }
            mu[i*prime[j]]=mu[i]*-1;
        }
        sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
    }
}
 
int a,b,c,d,k;
 
ll ans(int x,int y){
    int xx=x/k,yy=y/k;
    ll ret=0;
    for(int l=1,r;l<=min(xx,yy);l=r+1){
        r=min(xx/(xx/l),yy/(yy/l));
        ret+=((ll)sum[r]-sum[l-1])*(xx/l)*(yy/l);        
    }
    return ret;   
}
 
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    getmu();
     
    while(n--){
        scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
        printf("%lld\n",ans(b,d)-ans(b,c-1)-ans(a-1,d)+ans(a-1,c-1));
    }
     
    return 0;
}