复习笔记——数论
素数
线性筛
每个合数被最小质因子筛掉
用线性筛可求 \(phi\) 、\(mu\) 等积性函数
int p[N],prime[N],pnum;
void getp(){
for(int i=2;i<N;i++) p[i]=1;
for(int i=2;i<N;i++){
if(p[i]) prime[pnum++]=i;
for(int j=0;j<pnum && 1ll*i*prime[j]<N;j++){
p[prime[j]*i]=1;
if(i%prime[j]==0) break;
}
}
}
试除法判断素数
用2~ \(\sqrt{n}\) 试除
bool isprime(int x){
for(int i=2;i*i<=x;i++)
if(x%i==0) return false;
return true;
}
Miller-Rabin素性测试
Pollard-Rho分解质因数
最大公约数
最大公约数与最小公倍数
辗转相除法
int gcd(int a,int b) { return b?gcd(b,a%b):a; }
\(lcm(a,b)=\frac{ab}{gcd(a,b)}\)
翡蜀定理
若 \(a,b\) 为整数，\(gcd(a,b)=d\)，则对任意整数 \(x,y\) ，\(ax+by=z\)，\(d|z\)
存在不止一组 \(x,y\) 使 \(ax+by=d\)
扩展欧拉定理
用来求一组 \(x,y\) 满足 \(ax+by=gcd(a,b)\)
推导：
要求 \(ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)\)
假设已求出 \(by'+(a-(a/b)b)x'=gcd(b,a%b)\)
则 \(x=x',y=y'-(a/b)x'\)
int extgcd(int a,int b,int &x,int &y) { //return gcd
if(b==0) { x=1; y=0; return a; }
int z=extgcd(b,a%b,y,x);
y-=(a/b)*x;
return z;
}
若已求出一组解 \(x_0,y_0\)
则任意解满足 \(x=x_0+k\times \frac{b}{gcd(a,b)},y=y_0-k\times \frac{a}{gcd(a,b)}\)
费马小定理
费马小定理
若 \(p\) 为素数，\(gcd(a,p)=1\) ，则 \(a^{p-1} \equiv 1(mod\ p)\)
也即对任意整数 \(a\) ，\(a^p \equiv a(mod\ p)\)
证明
构造 \(p\) 的完全剩余系 \(A=\{0,1,2,\dots ,p-1 \}\)
取满足 \(gcd(a,p)=1\) 的数 \(a\) ，则 \(B=\{0a,a,2a,\dots,(p-1)a \}\) 也为 \(p\) 的完全剩余系
（可以反证，若有两个数模 \(p\) 同余，即 \(ai\equiv aj(mod\ p)\)，则 \(ai-aj\equiv a(i-j) \equiv i-j \equiv 0 (mod\ p)\)，则 \(i,j\) 相等）
去掉0，则 \(1\times 2\times \dots \times (p-1) \equiv a\times 2a\times \dots \times (p-1)a \ \ \ (mod\ p)\)
即 \(1\equiv a^{p-1} (mod\ p)\)
欧拉定理
欧拉函数
\(\phi(n)\) 表示 1~ \(n\) 中与 \(n\) 互质（\(gcd(i,n)=1\)）的数的个数
设 \(n\) 的质因子为 \(p_1,p_2,\dots ,p_m\)
则 \(\phi(n)=n\prod\limits_{i=1}^m \frac{p_i-1}{p_i}\)
一些性质：
- \(\phi(1)=1\)
- 若 \(n\) 为质数，则 \(\phi(n)=n-1\)
- 积性函数——若 \(m,n\) 互质，则 \(\phi(nm)=\phi(n)\phi(m)\)
- 小于 \(n\) 且与 \(n\) 互质的数之和为 \(\frac{n\phi(n)}{2}\) (\(n>1\))
用线性筛求。
int phi[N],prime[N],pnum;
int getphi(){
phi[1]=1;
for(int i=2;i<N;i++) phi[i]=i-1;
for(int i=2;i<N;i++){
if(phi[i]==i-1) prime[pnum++]=i;
for(int j=0;j<pnum && 1ll*i*prime[j]<N;j++){
if(i%prime[j]==0) {
phi[prime[j]*i]=phi[i]*prime[j];
break;
}
phi[prime[j]*i]=phi[i]*(prime[j]-1);
}
}
}
求一个数的欧拉函数，要先分解质因数
int tot,fac[N];
void get_prime(int x){
int y=x;
tot=0;
for(int i=2;i*i<=y;i++){
if(y%i) continue;
fac[++tot]=i;
while(y%i==0) y/=i;
}
if(y!=1) fac[++tot]=y;
}
int phi(int x){
int ret=x;
get_prime(x);
for(int i=1;i<=tot;i++) ret=ret/fac[i]*(fac[i]-1);
return ret;
}
欧拉定理
对任意数 \(p\) ，若 \(gcd(a,p)=1\)，则 \(a^{\phi(p)}\equiv 1(mod\ p)\)
证明：
取缩系 \(A=\{r_1,r_2,\dots,r_{\phi(p)}\}\)
则 \(B=\{ar_1,ar_2,\dots,ar_{\phi(p)}\}\) 也为缩系
（反证：若\(ar_i\equiv ar_j(mod\ p)\)，则 \(ar_i-ar_j\equiv a(r_i-r_j) \equiv r_i-r_j \equiv 0 (mod\ p)\)，则 \(r_i,r_j\) 相等）
还是都乘起来就得到 \(a^{\phi(p)}\equiv 1(mod\ p)\)
可以发现费马小定理是欧拉定理的特殊情况。
扩展欧拉定理
\(
\begin{equation}
a^b\equiv
\begin{cases}
a^{b\% \phi(p)}& gcd(a,p)=1\\
a^b& b<\phi(p)\\
a^{b\% \phi(p)+\phi(p)}& gcd(a,p) \neq 1,b\geq \phi(p)
\end{cases}
\ \ (mod\ p)
\end{equation}
\)
并不会证……
威尔逊定理
当且仅当 \(p\) 为素数时，\((p-1)!\equiv p-1 \equiv -1(mod \ p)\)
逆元
定义（我自己说的）：当 \(gcd(a,p)=1\) 时，满足 \(a\times b \equiv 1(mod\ p)\) 的小于 \(p\) 的数 \(b\) 为 \(a\) 对 \(p\) 的逆元
求法：
- \(p\) 为质数：费马小定理 \(a^{p-2}\equiv \frac{1}{a} (mod\ p)\)
- \(p\) 不是素数：欧拉定理 \(a^{\phi(p)-1} \equiv \frac{1}{a} (mod\ p)\)
- 扩展欧几里得：\(ax\equiv 1 (mod\ p) \Rightarrow ax+py=1\)
- 线性筛1~ \(n\) 的逆元： \(inv[1]=1,\ inv[i]=p-(p/i)\times inv[p\%i] \% p\)
阶与原根
阶
若 \(gcd(a,p)=1\) ，定义满足 \(a^l\equiv 1(mod\ p)\) 的最小的 \(l\) 称为 \(a\) 模 \(p\) 的阶。
记为 \(ord_p a\)
一些性质：
- 对任意使 \(a^l \equiv 1 (mod\ p)\) 的 \(l\) ，有 \(ord_p a |l\)。由欧拉定理，\(ord_p a| \phi(p)\)
- \(1,a,a^2,\dots,a^{ord_pa-1}\) 关于模 \(p\) 互不同余
- 若 \(ord_pa=l\)，则 \(ord_p a^t=\frac{l}{gcd(t,l)}\)
- \(a^i\equiv a^j(mod\ p)\) 当且仅当 \(i\equiv j(mod\ ord_pa)\)
原根
若 \(gcd(g,p)=1\) 且 \(ord_pg=\phi(p)\)，则称 \(g\) 为模 \(p\) 的原根。
一些性质：
- 若 \(g\) 为模 \(p\) 的原根，则 \(A={g,g^2,\dots,g^{\phi(p)}}\) 构成 \(p\) 的既约剩余系
- 有原根的数：1,2,4,\(p^a\),\(2p^a\) 其中 \(p\) 为奇素数，\(a\) 为正整数
- 判定原根：设 \(p_1,p_2,\dots,p_m\) 是 \(\phi(n)\) 的所有质因数，则 \(g\) 是模 \(n\) 的原根当且仅当 对任意 \(1\leq i \leq m\) ，有 \(g^{\frac{\phi(n)}{p_i}} \ne 1 (mod\ n)\) （找不到不同余号所以用的不等于号）
- 若 \(p\) 有原根，则 \(p\) 的原根有 \(\phi(\phi(p))\) 个（证明：设 \(g\) 为一个原根，则 \(g^t\) 为原根当且仅当 \(\frac{\phi(p)}{gcd(\phi(p),t)}=\phi(p)\)，所以共 \(\phi(\phi(p))\) 个）
- \(p\) 的最小原根在 \(O(p^{0.25})\) 级别，可暴力求
小技巧：利用原根 \(g\) 可将一个与 \(p\) 互质的数表示为 \(g^t\)，指标 \(t\) 可方便一些运算或帮助发现性质。
bool check(int x,int p){ //判断x是否为模p原根
int q=Phi(p); //phi(p) 的质因子在 fac[]中，共tot个
for(int i=1;i<=tot;i++)
if(Pow_mod(x,q/fac[i],p)==1) return false;
return true;
}
int getg(int p){ //求最小原根，若无原根则返回0
if(p==1 || p==2) return 1;
if(p==4) return 3;
//判断有
int q=p,r;
if(p%2==0) q/=2;
for(int i=2;i*i<=q;i++)
if(q%i==0) { r=i; break; }
if(!isprime(r)) return 0;
while(q%r==0) q/=r;
if(q!=1) return 0;
for(int i=2;i<p;i++)
if(gcd(i,p)==1 && check(i,p)) return i;
}
int get_all_g(int p){ //求所有原根，存入 A[]，返回原根数量
int g=getg(p),z=Phi(p);
if(!g) return 0;
int ret=0; A[++ret]=g;
for(int i=2;i<=z;i++) if(gcd(i,z)==1) A[++ret]=Pow_mod(g,i,p);
return ret;
}
BSGS
BSGS
给定 \(a,b,p\)，\(gcd(a,p)=1\)，\(p\) 为质数，求最小非负整数 \(x\) 满足 \(a^x\equiv b(mod\ p)\)
由于 \(p\) 为质数，所以若有解，则最小非负整数解一定满足 \(x\leq p-1\)
分块，将 \(a^x\) 写成 \(a^{im-j}\)，其中 \(m=\lceil \sqrt{p}\rceil,0\leq i,j\leq \lceil \sqrt{p} \rceil\)
则 \((a^m)^i \times a^{-j} \equiv b(mod\ p) \Rightarrow (a^m)^i\equiv b\times a^j(mod\ p)\)
存下来所有 \(ba^j\) ，然后从小到大枚举 \(i\) ，判断是否有与 \((a^m)^i\) 相等的 \(ba^j\)
不要用 \(map\) ，要用哈希表存……
注意可能无解！！！
vector<Pr> hs[4987657];
int Hash(int x) { return (1ll*x*x%4987657+x%100007)%4987657; }
void ins(Pr x){
int id=Hash(x.fi);
hs[id].pb(x);
}
int has(int x){
int id=Hash(x);
for(int i=0;i<hs[id].size();i++)
if(hs[id][i].fi==x) return hs[id][i].se;
return -1;
}
int BSGS(int a,int b,int p){
int m=ceil(sqrt(p)),q=Pow_mod(a,m,p); //a^(im-j)=b(mod p)
for(int i=0,cur=1;i<=m;i++){
ins(Pr(1ll*cur*b%p,i));
cur=1ll*cur*a%p;
}
for(int i=1,cur=q;i<=m;i++){
int t=has(cur);
if(t!=-1) return i*m-t;
cur=1ll*cur*q%p;
}
return -1;
}
扩展BSGS
给定 \(a,b,p\)，\(gcd(a,p)=1\)，\(p\) 不一定为质数，求最小非负整数 \(x\) 满足 \(a^x\equiv b(mod\ p)\)
如果 \(gcd(a,p)=1\) ，那么 \(x<p\) ，仍可用 \(BSGS\) 求解。
否则，设 \(d=gcd(a,p)\)
若 \(d\nmid b\) 则无解
否则写成 \(\frac{a}{d} \times a^{x-1} \equiv \frac{b}{d} (mod\ \frac{p}{d})\)
由于此时 \(gcd(\frac{a}{d},\frac{p}{d})=1\)，所以可以把 \(\frac{a}{d}\) 除到另一边
得到 \(a^{x-1} \equiv \frac{b/d}{a/d} (mod/ p/d)\) 子问题递归求解即可。
注意若某次 \(b=1\) ，则可直接返回0，不用再往下递归了
unordered_map<int,int> mp;
int BSGS(int a,int b,int p){
if(b==1) return 0;//!!!
int m=ceil(sqrt(p)),q=Pow_mod(a,m,p);
mp.clear();
for(int i=0,cur=b;i<=m;i++) mp[cur]=i,cur=1ll*cur*a%p;
for(int i=1,cur=q;i<=m;i++){
if(mp[cur] || cur==b) return i*m-mp[cur];
cur=1ll*cur*q%p;
}
return -1;
}
int extBSGS(int a,int b,int p){
int z=gcd(a,p),bb=b,pp=p,k=0;
while(z>1 && b!=1){ //a^(x-k)=bb(mod pp)
if(bb%z!=0) return -1;
//a/d * a^(x-k-1)=bb/d (mod pp/d)
bb/=z; pp/=z;
bb=1ll*bb*inv(a/z,pp)%pp;
z=gcd(a,pp); k++;
}
int ret=BSGS(a,bb,pp);
if(ret==-1) return -1;
ret+=k;
for(int i=k-1;i>=0;i--) if(Pow_mod(a,i,p)==b) ret=i;
return ret;
}
同余方程
一次同余方程
形如 \(a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n \equiv b(mod\ m)\) 的方程
有解的充要条件是 \(gcd(a_1,a_2,\dots,a_n,m)|b\) ，在模 \(m\) 意义下共 \(m^{n-1}\times gcd(a_1,a_2,\dots,a_n,m)\) 个解
中国剩余定理
设正整数 \(m_1,m_2,\dots,m_n\) 两两互质
求解同余方程组 \(x\equiv a_i(mod\ m_i)\)
在模 \(M=\prod m_i\) 下有唯一解 \(\sum\limits_{i=1}^n \frac{M}{m_i} \times a_i\cdot inv(\frac{M}{m_i},m_i)\)
ll m[N],a[N];
int n;
ll crt(){
ll M=1;
for(int i=1;i<=n;i++) M=M*m[i];
ll ret=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
ll mm=M/m[i];
ret=(ret+(inv(mm,m[i])*a[i])%m[i]*mm%M)%M; //注意有的地方模 m[i]
}
return ret;
}
扩展中国剩余定理
模数 \(m_1,m_2,\dots,m_n\) 不一定互质
考虑合并两个方程 \(x\equiv a_1(mod\ m_1),x\equiv a_2(mod\ m_2)\)
可写成 \(x=pm_1+a_1=qm_2+a_2\)
则 \(pm_1-qm_2=a_2-a_1\)
若 \(gcd(m_1,m_2) \nmid (a_2-a_1)\) 则无解
否则求出一组满足条件的 \((p_0,q_0)\)，对应的 \(x=p_0m_1+a_1\)；而该方程组所有解为 \(p=p_0+k\frac{m_2}{gcd(m_1,m_2)},q=q_0-k\frac{m_1}{gcd(m_1,m_2)}\)，所以对应的所有 \(x=(p_0+k\frac{m_2}{gcd(m_1,m_2)})m_1+a_1=k\times (\frac{m_1m_2}{gcd(m_1,m_2)})+p_0m_1+a_1\)
方程转化为 \(x\equiv p_0m_1+a_1 (mod\ \frac{m_1m_2}{gcd(m_1,m_2)})\)
int n;
ll a[N],m[N];
ll extcrt(){
ll aa=a[1],mm=m[1];
for(int i=2;i<=n;i++){
ll x,y,z=extgcd(mm,m[i],x,y);
ll q=m[i]/z;
if(abs(aa-a[i])%z) return -1;
x=mul(x,(a[i]-aa)/z,q);
q=q*mm;
aa=x*mm+aa; mm=q;
}
return aa;
}
组合数取模
计算 \(C_m^n \% p\)
- \(1\leq m \leq 10^3\) 杨辉三角
- \(1 \leq m \leq 10^6\)，\(p\) 为质数：预处理 \(mul[],inv[]\)
- \(1\leq m\leq 10^6\) ，\(p\)为较小合数：暴力分解质因数
- \(1\leq m\leq 10^{18} ,1\leq p \leq 10^5\) ，\(p\) 为质数：lucas定理
- \(1\leq m \leq 10^{18}\) ，\(p\) 不是质数：扩展lucas定理
lucas定理
对于质数 \(p\) ，\(\binom{n}{m} mod\ p=\binom{n/p}{m/p}\times \binom{n\ mod\ p}{m\ mod\ p} mod\ p\)
ll C(int x,int y){ //x>y
if(y>x) return 0;
return (fac[x]*Pow_mod((fac[y]*fac[x-y])%P,P-2))%P;
}
ll lucas(int x,int y){
if(y==0) return 1;
return (C(x%P,y%P)*lucas(x/P,y/P))%P;
}
