复习笔记——线性代数

高斯消元

还是注意解的判断：
1.出现0=0：无数组解
2.出现0=1：无解
3.else：唯一解

实数版

typedef double db;
typedef db Mat[N][N];

bool gauss(Mat A,int n){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int r=i;
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
			if(A[j][i]>A[r][i]) r=j;
		for(int j=i;j<=n+1;j++) swap(A[i][j],A[r][j]);
		if(fabs(A[i][i])<eps) continue;
		for(int j=i+1;j<=n;j++){
			db t=A[j][i]/A[i][i];
			for(int k=i;k<=n+1;k++) 
				A[j][k]-=A[i][k]*t;
		}
	}
	for(int i=n;i>0;i--){
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
			A[i][n+1]-=A[i][j]*A[j][j];
		if(A[i][i]==0) return false; //if A[i][n+1]=0:oo solutions else:no solution
		A[i][i]=A[i][n+1]/A[i][i];
	}
	return true;
}

对质数取模版

把实数版的所有除法换位逆元即可

对合数取模版

不是所有数都对合数有逆元，因此在消元时无法直接乘上逆元；但消元的目的是将一方消为0，联想到辗转相除求gcd时最终也是将某个数变为了0，于是可以辗转相除消元。
然而代入求值时可能出bug，但在求行列式等操作中还是很可能出现的。放个消成上三角矩阵的代码。

bool Gauss(Mat A,int n){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int r=i;
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
			if(A[j][i]>A[r][i]) r=j;
		for(int j=i;j<=n+1;j++) swap(A[i][j],A[r][j]);
		if(!A[i][i]) return false;
		
		for(int j=i+1;j<=n;j++){//make A[j][i]=0
			while(A[j][i]){ //b
				int t=A[i][i]/A[j][i]; //(a,b)->(b,a%b)=(b,a-(a/b)*b)
				for(int k=i;k<=n+1;k++){
					A[i][k]=Minus(A[i][k],1ll*A[i][k]*t%P);
					swap(A[i][k],A[j][k]);
				}
			}
		}
	}
	return true;
}

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线性基

在异或空间中常用的性质：一个线性空间中,极大线性无关子集的大小的一定的。

ll c[N];
void insert(ll x){
	for(int i=50;i>=0;i--)
		if((x>>i)&1){
			if(!c[i]) { c[i]=x; return; }
			x^=c[i];
		}
}

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矩阵求逆

矩阵 \(A\) 有逆的充要条件是：\(A\) 可通过线性变换变为单位矩阵。
推导： 若矩阵 \(B\) 满足 \(B\times [A|E]=[E|B]\) （\(E\) 为单位矩阵），则 $ B \times A =E$，即 \(B=A^{-1}\)
求法：对 \([A|E]\) 高斯消元，消成 \([E|B]\) 的形式（即将 \(A\) 消成 \(E\)），就得到 \(B\) 了。

小 \(trick\) ：懒得回带？那就把所有除 \(A[i][i]\) 以外的 \(A[j][i]\) 都一次性消为0（操作上改下循环的起始位置即可）

bool Gauss_inv(Mat A,int n){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int r=i;
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
			if(A[j][i]>A[r][i]) r=j;
		for(int j=i;j<=2*n;j++) swap(A[i][j],A[r][j]);
		if(!A[i][i]) return false;
		int Inv=Pow_mod(A[i][i],P-2);
		for(int j=1;j<=n;j++) { //trick: from 1->n all delete
			if(j==i) continue;
			int t=1ll*A[j][i]*Inv%P;
			if(!t) continue;
			for(int k=i;k<=n*2;k++)
				A[j][k]=Minus(A[j][k],1ll*t*A[i][k]%P);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int Inv=Pow_mod(A[i][i],P-2);
		for(int j=n+1;j<=n*2;j++) 
			A[i][j]=1ll*A[i][j]*Inv%P;
		A[i][i]=1;
	}
	return true;
}

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矩阵乘法 & 矩阵快速幂

太简单了就不说了吧。

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矩阵行列式

终于知道定义了，但懒得写了。
一些性质：
1.将某一行 \(\times k\) 后加到另一行，行列式不变
2.交换某两行，行列式 \(\times = -1\)
3.某一行 \(\times k\)，行列式 \(\times = k\)
4.把矩阵消成上三角or下三角矩阵后，行列式=对角线上所有数的乘积

代码中要注意的就是交换两行后记得 \(ret*=-1\)