dp-数字三角形
数字三角形问题是一个很经典的dp问题，因为这个题是在书上看到的，所以根本不知道输入是什么！只能通过经验判断输入！！！！
注意：当前版本是我自己臆想出来的输入。
题目描述
有一个非负整数组成的三角形，第一行只有一个数，除了最下行之外每个数的左下方和右下方各有一个数，从第一行的数开始每次可以往左下或者右下走一格，直到走到最下行，把沿途经过的数全部加起来，如何走才能得到最大和？
思考过程1
像题目中这样说，不就是转换成一个数组么？
如图所示，先转成数组：
注意：第\(0\)行和第\(0\)列是不需要的，因为不好计算。第\(k\)行有\(k\)个数。
像这种结构找最大或者最小值，一般就是用深搜，每条路径都要遍历一遍。确定了深搜之后，想一下输入的问题，我以为这道题的输入是给定\(n\)，输入这\(n\)个数。所以现在要解决的问题是\(n\)个数一共是多少层：假设\(n\)个数一共可以组成\(k\)层（假设是满的），第\(1\)层有\(1\)数...第\(k\)层有\(k\)个数，则一定有：
左边就是个等差数列，结果为：
展开可得：
这里求解\(k\)，根据韦达定理，可知：
同过这个公式可以求得\(k\)：
因为\(k_2\)一定是小于\(0\)的，所以\(k_1\)为最终答案，但此时一定是满的，需要求解的层数进行上取整ceil()。
深搜代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <map>
#include <cmath>
#include <deque>
using namespace std;
#define MAX_N 100
#define print(a) { \
for (int i = 0; i < 10; i++) {\
for (int j = 0; j < 10; j++) {\
cout << grid[i][j] << " ";\
}\
cout << endl;\
}\
}
int n, grid[MAX_N + 5][MAX_N + 5], ans = 0;
int k;
void dfs(int x, int y, int sum) {
sum += grid[x][y];
// cout << "(" << x << ", " << y << ")" << " " << sum << endl;
if (x == k) {
ans = max(sum, ans);
return ;
}
if (grid[x + 1][y] >= 0) {
dfs(x + 1, y, sum);
}
if (grid[x + 1][y + 1] >= 0) {
dfs(x + 1, y + 1, sum);
}
}
void solve() {
memset(grid, -1, sizeof(grid));
cin >> n;
k = ceil((sqrt(1 + 8 * n) - 1) / 2);
cout << "k = " << k << endl;
for (int i = 1; i <= k; i++) {
for (int j = 1; j <= i; j++) {
cin >> grid[i][j];
// print(grid);
}
}
dfs(1, 1, 0);
cout << ans << endl;
}
int main() {
solve();
return 0;
}
思考过程2
深搜是暴力算法，相当于把所有的路径都走了一遍，如果是n层的树，一共会有\(2^{n-1}\)条路径，所以当数据量很大的时候，算法所需要的时间很长，时间复杂度很高。
下面换一种思路，用dp。dp最重要的是确定状态和状态转移方程。当前这道题每一个点都是一个状态dp[i][j]，这个状态代表以这个点为终点，从第一层起点到达当前这个点和的最大值。所有的点组成了一个状态空间，也就是答案的集合，遍历状态空间中的最大值就可以找到答案。
可以通俗的理解状态就是dp[i][j]数组。
确定了状态以后，那如何确定状态转移方程呢？这样想，随便找一个当前的状态dp[i][j]，这个状态等于什么？也就是到达当前这个点的和的最大值等于什么呢？一定是等于当前这个点的grid[i][j]加上上一个状态的最大值，上一个状态是什么？就是上一层的与(i, j)相连接的点的状态最大值（可能有拗口，多读两遍好好理解一下）。
为什么这么做一定就正确呢？
因为是一个递归的过程，上一层的和的最大值加上当前层值，一定可以得到当前层的每一个点的和的最大值。所以dp数组维护的是每一层和值的最大值。
根据前面的思路可以得到状态转移方程：
dp代码1
/*************************************************************************
> File Name: test.cpp
> Author: lihanwen
> Mail: 18646139976@163.com
> Created Time: 六 6/12 14:36:38 2021
> Description:
************************************************************************/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <map>
#include <cmath>
#include <deque>
#include <ctime>
using namespace std;
#define MAX_N 100
#define print(a) { \
for (int i = 1; i <= k; i++) {\
for (int j = 1; j <= k; j++) {\
cout << a[i][j] << " ";\
}\
cout << endl;\
}\
}
int n, grid[MAX_N + 5][MAX_N + 5], ans = 0;
int k;
int dp[MAX_N + 5][MAX_N + 5];
void solve() {
memset(grid, -1, sizeof(grid));
memset(dp, -1, sizeof(dp));
cin >> n;
k = ceil((sqrt(1 + 8 * n) - 1) / 2);
for (int i = 1; i <= k; i++) {
for (int j = 1; j <= i; j++) {
cin >> grid[i][j];
}
}
clock_t start = clock();
// 初始化dp数组
dp[1][1] = grid[1][1];
// 构造dp数组
for (int i = 2; i <= k; i++) {
for (int j = 1; j <= i; j++) {
dp[i][j] = grid[i][j] + max(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j]);
}
}
for (int i = 1; i <= k; i++) {
ans = max(ans, dp[k][i]);
}
clock_t end = clock();
cout << std::fixed << "use time : " << (double)(end - start) / CLOCKS_PER_SEC << "s" << endl;
cout << ans << endl;
}
int main() {
solve();
return 0;
}
代码说明：
- 因为题目中说的是全部为非负整数，所以代码中初始化的时候全部初始化成\(-1\)，在维护
dp数组的时候并没有确定边界，为什么不用确定边界？例如在i = 2, j = 1时，i - 1 = 1, j - 1 = 0，dp[1][0] == -1，并且i - 1 = 1, j = 1，dp[i - 1][j] == dp[1][1]，dp[1][1]一定是大于\(-1\)的，所以，不需要判断边界。 - 最终答案一定是在
dp数组的最后一行，找到最大。
