时间复杂度 log n

时间复杂度 O(log n) 意味着什么?

预先知道算法的复杂度是一回事,了解其后的原理是另一件事情。

不管你是计算机科班出身还是想有效解决最优化问题,如果想要用自己的知识解决实际问题,你都必须理解时间复杂度。

先从简单直观的 O(1) 和 O(n) 复杂度说起。O(1) 表示一次操作即可直接取得目标元素(比如字典或哈希表),O(n) 意味着先要检查 n 个元素来搜索目标,但是 O(log n) 是什么意思呢?

你第一次听说 O(log n) 时间复杂度可能是在学二分搜索算法的时候。二分搜索一定有某种行为使其时间复杂度为 log n。我们来看看是二分搜索是如何实现的。

因为在最好情况下二分搜索的时间复杂度是 O(1),最坏情况(平均情况)下 O(log n),我们直接来看最坏情况下的例子。已知有 16 个元素的有序数组。

举个最坏情况的例子,比如我们要找的是数字 13。

十六个元素的有序数组

选中间的元素作为中心点(长度的一半)

13 小于中心点,所以不用考虑数组的后一半

重复这个过程,每次都寻找子数组的中间元素

每次和中间元素比较都会使搜索范围减半。

所以为了从 16 个元素中找到目标元素,我们需要把数组平均分割 4 次,也就是说,

简化后的公式

类似的,如果有 n 个元素,

归纳一下

分子和分母代入指数

等式两边同时乘以 2^k

最终结果

现在来看看「对数」的定义:

为使某数(底数)等于一给定数而必须取的乘幂的幂指数。

也就是说可以写成这种形式

对数形式

所以 log n 的确是有意义的,不是吗?没有其他什么可以表示这种行为。

就这样吧,我希望我讲得这些你都搞懂了。在从事计算机科学相关的工作时,了解这类知识总是有用的(而且很有趣)。说不定就因为你知道算法的原理,你成了小组里能找出问题的最优解的人呢,谁知道呢。祝好运!


时间复杂度中的log(n)底数到底是多少?

其实这里的底数对于研究程序运行效率不重要,写代码时要考虑的是数据规模n对程序运行效率的影响,常数部分则忽略,同样的,如果不同时间复杂度的倍数关系为常数,那也可以近似认为两者为同一量级的时间复杂度。

现在来看看为什么底数具体为多少不重要?
读者只需要掌握(依稀记得)中学数学知识就够了。

假设有底数为2和3的两个对数函数,如上图。当X取N(数据规模)时,求所对应的时间复杂度得比值,即对数函数对应的y值,用来衡量对数底数对时间复杂度的影响。

比值为log2 N / log3 N,运用换底公式后得:(lnN/ln2) / (lnN/ln3) = ln3 / ln2,ln为自然对数,显然这三个常数,与变量N无关。

用文字表述:算法时间复杂度为log(n)时,不同底数对应的时间复杂度的倍数关系为常数,不会随着底数的不同而不同,因此可以将不同底数的对数函数所代表的时间复杂度,当作是同一类复杂度处理,即抽象成一类问题。

当然这里的底数2和3可以用a和b替代,a,b大于等于2,属于整数。a,b取值是如何确定的呢?

有点编程经验的都知道,分而治之的概念。排序算法中有一个叫做“归并排序”或者“合并排序”的算法,它用到的就是分而治之的思想,而它的时间复杂度就是N*logN,此算法采用的是二分法,所以可以认为对应的对数函数底数为2,也有可能是三分法,底数为3,以此类推。

但是不可能是分数或者负数。

说明:为了便于说明,本文时间复杂度一概省略 O 符号。 

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posted @ 2019-02-15 21:51 lightmare 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏