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bzoj 1096 [ZJOI2007]仓库建设(关于斜率优化问题的总结)

 

1096: [ZJOI2007]仓库建设

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Description

L 公司有N个工厂,由高到底分布在一座山上。如图所示,工厂1在山顶,工厂N在山脚。 由于这座山处于高原内陆地区(干燥少雨),L公司一般把产品直接堆放在露天,以节省费用。突然有一天,L公司的总裁L先生接到气象部门的电话,被告知三天 之后将有一场暴雨,于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于地形的不同,在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已 有成品Pi件,在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂,其产品应被运往其他的仓库进行储藏,而由于L公司产品的对外销售处设置在 山脚的工厂N,故产品只能往山下运(即只能运往编号更大的工厂的仓库),当然运送产品也是需要费用的,假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立 的仓库容量都都是足够大的,可以容下所有的产品。你将得到以下数据: 工厂i距离工厂1的距离Xi(其中X1=0);  工厂i目前已有成品数量Pi;  在工厂i建立仓库的费用Ci; 请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案,使得总的费用(建造费用+运输费用)最小。

Input

第一行包含一个整数N,表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

仅包含一个整数,为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

32

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库,建立费用为10+10=20,运输费用为(9-5)*3 = 12,总费用32。如果仅在工厂3建立仓库,建立费用为10,运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57,总费用67,不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据, N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内,保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

Source

 

【思路】

       斜率优化+DP。

       转移方程式:

           f[i]=min{ f[j]+p[j+1](x[i]-x[j+1])+p[j+2]*(x[i]-x[j+2]+…p[i](x[i]-x[i]))+C[i] }

                 =min{ f[j]-(Cpx[i]-Cpx[j])+(Cp[i]-Cp[j])*x[i] +C[i]}

                 =min{ (f[j]+Cpx[j])-(X[i]*p[j]) }+C[i]-Cpx[i]+X[i]*Cp[i]

       其中定义Cpx[]表示p*X的前缀和,Cp表示p的前缀和。

       设y(j)=f[j]+Cpx[j],a(i)=X[i],x(j)=Cp[j],则有

             f[i]=(min p = y(j)-a(i)*x(j)) +C[i]-Cpx[i]+X[i]*Cp[i]

       括号中的式子可以看作一条直线,其中a(i)为i下的常数,x(j)与y(j)都可以在常数时间下确定,而且x与直线斜率都是单调递增的,如果以x y建立坐标轴的话,则问题变成已知一条直线的斜率和一堆点,求y轴上的最小截距。

       可以通过维护一个下凸包完成,构造一个单调队列,对应该斜率下的直线,从队首维护最优性(p的大小),从队尾维护凸包。

       如下:

      

/////////////////
//根据当前直线计算p 维护队首的最优性
while(L<R && q[L].y-q[L].x*X[i] >= q[L+1].y-q[L+1].x*X[i]) L++;

///////////////

now.x=Cp[i];                                                 //计算当前点        
now.y=q[L].y-q[L].x*X[i]+C[i]+X[i]*Cp[i];
while(L<R && cross(q[R-1],q[R],now)<=0) R--;                 //维护与插入当前点 
q[++R]=now;

 

 

【代码1】

 

 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 using namespace std;
 4 
 5 typedef long long LL; 
 6 const int N = 1000000+10;
 7 struct point { LL x,y;
 8 }q[N],now;
 9 int n,L,R;
10 LL p,Cpx[N],Cp[N],C[N],X[N],f[N];
11 
12 LL cross(point a,point b,point c) {
13     return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(b.y-a.y)*(c.x-a.x);
14 }
15 void read(LL& x) {
16     char c=getchar(); while(!isdigit(c)) c=getchar();
17     x=0; while(isdigit(c)) x=x*10+c-'0' , c=getchar();
18 }
19 int main() {
20     scanf("%d",&n); 
21     for(int i=1;i<=n;i++) {
22         read(X[i]),read(p),read(C[i]);
23         Cp[i]=Cp[i-1]+p; Cpx[i]=Cpx[i-1]+p*X[i];
24     }
25     for(int i=1;i<=n;i++) {
26         while(L<R && q[L].y-q[L].x*X[i] >= q[L+1].y-q[L+1].x*X[i]) L++;
27         now.x=Cp[i];
28         now.y=q[L].y-q[L].x*X[i]+C[i]+X[i]*Cp[i];
29         //f[i]=now.y-Cpx[i];
30         while(L<R && cross(q[R-1],q[R],now)<=0) R--;
31         q[++R]=now;
32     }
33     printf("%lld",q[R].y-Cpx[n]);
34     return 0;
35 }
folding code

 

 

【代码2】

 1 //slop计算相对慢一些 
 2 #include<cstdio>
 3 #include<iostream>
 4 using namespace std;
 5 
 6 typedef long long LL; 
 7 const int N = 1000000+10;
 8 int n,L,R,q[N];
 9 LL p,Cpx[N],Cp[N],C[N],X[N],f[N];
10 double slop(int k,int j) {
11     return (f[j]-f[k]+Cpx[j]-Cpx[k])/(double)(Cp[j]-Cp[k]); 
12 } 
13 void read(LL& x) {
14     char c=getchar(); while(!isdigit(c)) c=getchar();
15     x=0; while(isdigit(c)) x=x*10+c-'0' , c=getchar();
16 }
17 int main() {
18     scanf("%d",&n); 
19     for(int i=1;i<=n;i++) {
20         read(X[i]),read(p),read(C[i]);
21         Cp[i]=Cp[i-1]+p; Cpx[i]=Cpx[i-1]+p*X[i];
22     }
23     for(int i=1;i<=n;i++) {
24         while(L<R && slop(q[L],q[L+1])<X[i]) L++;
25         int t=q[L];
26         f[i]=f[t]-Cpx[i]+Cpx[t]+(Cp[i]-Cp[t])*X[i]+C[i];
27         while(L<R && slop(q[R-1],q[R])>slop(q[R],i)) R--;
28         q[++R]=i;
29     }
30     printf("%lld",f[n]);
31     return 0;
32 }
folding code 2

 

以上两种写法

 

【代码2理解】 

  知:f[i]=min{ (f[j]+Cpx[j])-(X[i]*p[j]) }+C[i]-Cpx[i]+X[i]*Cp[i]

  若有两个决策j和k且j>k,若决策j优于决策k,则有

    f[j]-f[k]+Cpx[j]-Cpx[k]<(Cp[j]-Cp[k])*X[i]

  根据斜率判断决策哪个更优。

 

posted on 2016-01-10 11:02  hahalidaxin  阅读(234)  评论(0编辑  收藏

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