筛法求素数

筛法求素数

前言

素数（质数）：除了1和它本身以外不再有其他因数（能被整除的数）
合数：除了能被1和本身整除外，还能被其他数整除的数
互质：公约数只有1的两个整数

题目：判断1-n的范围内有多少个素数？oj练习
判断一个数是否为素数，一般会想到以下代码

//时间复杂度O(n*sqrt(n))
bool sushu(int n){
    if(n<=1) return 0;
    for(int i=2;i<=sqrt(n);++i){
        if(n%2==0) return 0;
    }
    return 1;
}

当n取很大时，每判断一个数 i（1<=i<=n）是否为素数，都要枚举sqrt(i)次，时间复杂度接近O(n^2)，
提前建立一张素数表，再通过查表的方式来判断素数。而这里打表的算法，就需要用到筛法，把表中不是素数的筛去
这里介绍两种常用的筛法：埃氏筛、欧拉筛（线性筛）

埃氏筛

埃氏筛的思想：素数的倍数都不是素数，如2的倍数（即偶数）都不是素数
用一个prime[n] bool数组来打表，prime[i]=0表示i是素数，prime[i]=1表示i不是素数
一开始都初始化为0，都认为是素数，然后慢慢把不是素数的筛去（prime[i]标为1）
先标记prime[1]=1，因为1不是素数
接着从2开始，把2的所有倍数（合数）都一个个筛去（prime[2*2]、prime[2*3]...）

//时间复杂度O(nloglogn)
#define ll long long
ll n;
bool prime[1000005]; //一开始都认为是质数（初始化为0），0代表是质数，1代表不是
void ai_shai(){
    prime[1]=1; //1不是质数
    for(ll i=2;i<=n;++i)
        if(prime[i]==0) //如果是质数
            for(ll j=i*i;j<=n;j+=i) //从i*i开始筛选 因为2*i~(i-1)*i 之前已被2~(i-1)筛出来了
                prime[j]=1; //质数的倍数都不是质数
}

上述的从i*i开始筛选可以理解为，比如轮到3的时候，可以从3*3开始筛选，因为3*2已经被2*3筛去了

还有为什么要判断是否为素数后再进行筛选，比如4不是素数，4的倍数8、16等之前已经被2给筛过了2*4、2*8，就会产生多余步骤

欧拉筛（线性筛）

埃氏筛的时间复杂度为O(nloglogn)，如何更进一步的优化？
仔细观察可发现，上面的埃氏筛也有一些重复计算，有些数会被不同的素数筛多次，比如30=3*10，30=5*6等
所以欧拉筛的思想就是：在埃氏筛的基础上，让每个合数只被其最小的质因数筛一次
这使得欧拉筛的时间复杂度可以达到O(n)的线性复杂度，所以欧拉筛也称线性筛

建立两个数组，一个是bool类型的素数表prime[]，用来表示prime[i]是不是素数。另一个是int类型用来存储每个素数的数组zyz[]，每个素数都会成为某个合数的最小质因子
代码如下，注释详细：

//时间复杂度O(n)
bool prime[1000005]; //1代表不是素数，0代表是素数
int zyz[1000005]; //合数最小的质因子，也记录着每一个质数
int cnt=0; //记录质数的个数
void ol_shai(){
    prime[1]=1; //1不是质数
    for(int i=2;i<=n;++i){
        if(prime[i]==0) //如果是质数
            zyz[++cnt]=i; //i是一个素数，存入zyz数组中
        for(int j=1;j<=cnt&&i*zyz[j]<=n;++j){ //每个素数对应i倍的合数筛去
            prime[i*zyz[j]]=1; //合数i*zyz[j]的最小质因子是zyz[j]
            if(i%zyz[j]==0) break;
            //如果zyz[j]还是i的最小质因数，后面的合数i*zyz[j+1]会被zyz[j](最小质因数)筛去
        }
    }
}

其中有关break的语句，这里拿出来再解释一下
因为zyz[j]是从小到大遍历的素数集合，如果i%zyz[j]=0，那么zyz[j]一定是i的最小质因数
如果i%zyz[j]=0，这里设一个数k，k*zyz[j]=i，下一个循环的i*zyz[j+1]可以分解为k*zyz[j]*zyz[j+1]，其中最小质因数为zyz[j]，所以会在i=（k*zyz[j+1]）时被zyz[j]筛选出来

举个例子，i=10，j=1，zyz[1]=2，10%2=0，如果没有break，而是继续循环 j=2，zyz[2]=3，i*zyz[2]=10*3=5*2*3=2*15，最小质因数为2（zyz[1]），会在i=15的时候，被zyz[1]=2筛出来
这个关键的break保证了一个合数只被其最小质因数筛出，使得O(n)的时间复杂度得以成立