论文笔记：Batch Normalization: Accelerating Deep Network Training by Reducing Internal Covariate Shift
ICML, 2015
S. Ioffe and C. Szegedy
解决什么问题（What）
- 分布不一致导致训练慢：每一层的分布会受到前层的影响，当前层分布发生变化时，后层网络需要去适应这个分布，训练时参数的变化会导致各层分布的不断变化，这个问题被定义为“internal covariate shift”，由于每一层的分布不一样，就会导致训练很慢
- 梯度消失和梯度爆炸：深度网络中微小的参数变动引起梯度上的剧变，导致训练陷入sigmoid的饱和区
- 需要使用较小的学习率：大的学习率可能会导致参数的scale变大，导致bp时梯度放大，引起梯度爆炸。另外由于分布不一致，大的学习率容易导致分布变化不稳定
- 需要小心翼翼地设置权重初始化：设置合理的初始化权重可以减小陷入sigmoid饱和区导致的梯度消失或梯度爆炸
- 需要正则：防止过拟合，提高泛化能力
为什么能解决（Why）
- 加速收敛：在每一层的输入对数据进行规范化，使每层的分布不会出现很大的差异，可以加快训练。BN因为对数据分布做了规范，能减小前层对后层的影响，后层更容易适应前层的更新。
- 减小梯度消失和梯度爆炸：对于sigmoid来说，数据规范化后大部分落在sigmoid的中间区域，可以避免优化的时候陷入“saturated regime”（sigmoid的两边），能够减小梯度消失的出现。一般化地说（不仅考虑sigmoid），BN规范化后，对于较大的权重会有较小的梯度，对于较小的权重会有较大的梯度（如下面公式所示），不容易出现梯度消失或梯度爆炸）。
\[BN(Wu) =BN((aW)u)
\]
\[\frac{\partial BN((aW)u))}{\partial u}=\frac{\partial BN((W)u))}{\partial u}
\]
\[\frac{\partial BN((aW)u))}{\partial (aW)} = \frac{1}{a} \frac{\partial BN(Wu))}{\partial W}
\]
- 允许使用较大的学习率：BN使训练更适应参数的scale，大权重有小梯度，这就不怕大的学习率导致bp的梯度放大引起梯度爆炸。另外分布较为一致，较大的学习率也不会导致不稳定的学习
- 可以不需要小心翼翼地设置权重初始化：初始化对学习的影响减小了，可以不那么小心地设置初始权重。举例来说，对于一个单元的输入值，不管权重w，还是放缩后的权重kw，BN过后的值都是一样的，这个k被消掉了，对于学习来说，激活值是一样的。
- 减小对正则的需要： 对于一个给定的训练样本，网络不产生一个确定的值，它会依赖于mini-batch中的其它样本。论文的实验发现这种效应有利于网络的泛化，可以减小或者不用dropout。
BN是怎么做的（How）
- 对于一个神经元的一个mini-batch上的一批数据，做一次BN，假设batch size为m
- 先求mini-batch的均值： $$\mu\leftarrow \frac{1}{m}\sum_{m}^{i=1}x_{i}$$
- 然后求mini-batch的方差：$$\sigma ^{2}\leftarrow \frac{1}{m}\sum_{m}{i=1}(x_{i}-\mu)$$
- 然后把每个数据归一化：$$\hat{x_i}\leftarrow \frac{x_i - \mu}{\sqrt {\sigma ^{2} + \varepsilon }}$$
- 这样就得到了均值为0，方差为1的一批数据。我们可能不希望所有的数据总是均值为0，方差为1。这可能会改变原来的网络层能表示的东西，比如把sgmoid限制在了0附近的线性区域。所有我们使用另外两个参数来转换一下，使得网络能学到更多的分布。它既可以保持原输入，也可以改变，提升了模型的容纳能力。$$y_i\leftarrow \gamma \hat{x_i}+\beta \equiv BN_{\gamma, \beta}(x_i)$$
- 对每个神经元的每个mini-batch数据做这样的BN转换，然后训练，每个BN的参数\(\gamma, \beta\)不同
- 在测试阶段，由于我们不适用mini-batch，那么如何使用均值和方差来归一化呢，论文中给出的方法是使用所有mini-batch 的均值和方差来估计出两个统计量（用移动平均的计算方法来平均，指数加权平均是常用的一种移动平均的方法）来作为每个测试样本BN时的均值和方差。指数加权平均在ng的深度学习课程中有学习过，我有记录相应的课程笔记。
\[E[x]\leftarrow E_B[\mu_B]
\]
\[Var[x]\leftarrow \frac{m}{m-1}E_B[\sigma ^{2}_B]
\]
\[y = \frac{x-E(x)}{\sqrt{Var[x]+\varepsilon }}\gamma+\beta
\]
激活前还是激活后做BN（Where）
- 对于一个神经元的运算$ x = Wu+b $ 和 $ z = g(x) $，g为激活函数
- 可以对u做BN，也可以对x做BN
- 但是u可能是另一个非线性函数的输出，它的分布容易受到训练的影响而改变
- 而\(Wu+b\)更可能有一致的，非稀疏的分布，对它归一化更可能产生稳定的分布
实验小结
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mnist：用了BN后，收敛更快，准确率更高，随着训练的进行，分布更加平稳
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ImageNet单网络分类：
- Inception：学习率为0.0015，对Inceptionv1做了一些结构修改（比如2个3x3卷积替代5x5卷积）。
- BN：在上面的基础上加入了BN，提升了Inception的收敛速度和准确率
- BNx5：做了一些加速BN的策略变动，其中学习率扩大为原BN的5倍，即0.0075，相比于BN，收敛更快，准确率更高
- BNx30：在BNx5的基础上，学习率扩大为原BN的30倍，即0.045，相比于BNX5，准确率更高
- BNx5-sigmoid：虽然不如以上结果好，但是相比于不用BN，准确率更高
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ImageNet集成网络分类：使用带BN的集成的Inception，在ImageNet的validation上达到了最好的表现
其它：CNN中的BN
- 在CNN中对一个mini-batch中的一个feature map的所有单元做BN
- 假设原来一个mini-batch中的大小为m，做BN时，一批数据的大小为m
- 现在在CNN中，假设一个feature map中大小为p*q，则做BN时一批数据的大小为m*p*q
其它：Internal Covariate shift（ICS）
统计学习基于这样一个假设，希望源空间和目标空间的分布是一致的，covariate shift是分布不一致假设之下的一个分支问题，指的是条件概率一致，但是边缘概率不同，如下公式所示
\[P_{source}(Y|X=x)=P_{target}(Y|X=x)
\]
\[P_{source}(X)\neq P_{target}(X)
\]
神经网络各层的分布是不同的，但是同一样本的label是一致，这就是符合了covariate shift的定义，因为不止对于输入，而对于中间层的输入都有这个问题，所有在前面加个“internal covariate shift”，定义这个各层之间分布不一致的问题。BN可以减小ICS带来的影响，但是不是解决ICS的办法，因为这并没有保证各层的分布一致，只是规范化了均值和方差。
一点点小感受
- 通常来说BN和dropout都是很有用的trick，值得多多尝试
- 但是之前做实验的时候，发现加了BN效果反而下降了，还有dropout也是，加了后没提升
- 一些trick在你的数据和任务上并不一定总是work的，还是实践至上，要多跑实验，尝试各种配置
