UVA 12716 GCD等于XOR[数学][提高+/省选-]

UVA 12716 GCD等于XOR[数学] [提高+/省选-]

输入数据组数t，

接下来t行每行给定一个数字n，

如样例所示格式输出

满足$1 \le b \le a \le n$且$gcd(a,b)==a \oplus b$的$(a,b)$二元组个数。

2
7
20000000

out

Case 1: 4
Case 2: 34866117

思路

首先想想暴力

也就是 if(gcd(a,b)==a^b)ans++

枚举每一个 $a$ 和 $b$

然后进行判断这样的时间复杂度是 $O(n^2)$的

看了看数据范围只能作罢

那么如何去优化呢

设$gcd(a,b)=a \oplus b= c$

根据异或的交换律我们可以知道

$a \oplus b= c , a \oplus c= b$

因为$gcd(a,b)= c$

所以 $c$ 一定是 $a$， $b$ 的因子

那么我们可以枚举 $a$ 的因子$c$

那么 $b$ 就是$a \oplus c$

再验证 gcd(a,b)是否等于 $c$

这样的时间复杂度是 $O(nlog^2n)$ 的

已经可以解决这道问题了

那么还有没有更好的方法呢

通过观察我们可以发现

当 $n$ = 7时

有4对成立 (3,2) (5,4) (6,4) (7,6)

我们发现当$gcd(a,b)==a \oplus b$ 时，总有 $a-b=gcd(a,b)$ 成立

那么是不是总有这个规律呢

我们还是设 $c$ 是 $a \oplus b$ 和 $gcd(a,b)$ 的结果

我们可以证明 $a-b \le a \oplus b $ (如不了解可以看文末)

又因为 $c$ 是 $a$ 和 $b$ 的最小公因数

那么由辗转相除法我们可以类推出

$gcd(a,b)$ $\le$ $a-b$

也就是

$gcd(a,b)$ $\le$ $a-b \le a \oplus b$

又 $c$ = $a \oplus b$ = $gcd(a,b)$

也就是

$c$ $\le$ $a-b \le c$

也就是 $a-b = c$

也就是 $a-b = a \oplus b $

由于 gcd() 函数的时间复杂度是$O(logn)$

$\oplus$的时间复杂度是$O(1)$

那么我们只需要判断 $a$减去一个因子等不等于异或上这个因子

整个问题便变成了 $O(nlogn)$ 的时间复杂度了

key code

const int N=3e7+10;
int n,m;
int ans[N];
int __;
void solve(){
	//try it again.
	cin>>n;
	cout<<ans[n]<<endl;
}
signed main(){
	IOS;
	int k=N>>1;
	fup(b,1,k){
		for(int a=b+b;a<=N;a+=b){
			if((a^b)==a-b){
				ans[a]++;
			}
		}
	}
	up(2,N)ans[o]+=ans[o-1];
	cin>>__;
	up(1,__){
		cout<<"Case "<<o<<": ";
		solve();
	}
    return 0;
}