几何代数60 ----空间直角坐标变换

几何代数60 ----空间直角坐标变换

学*李**教授几何代数的分享笔记。

目录

• 几何代数60 ----空间直角坐标变换
  • 1、空间直角坐标的*移
    • • \(\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{brown}{空间直角坐标的*移变换公式} }}\)
      • 例1
  • 2、空间直角坐标的旋转
    • • \(\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{brown}{空间直角坐标的旋转变换公式} }}\)
      • 例2
      • \(\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{brown}{空间直角坐标的一般变换} }}\)
  • 3、空间直角坐标的伸缩
  • 参考资料

1、空间直角坐标的*移

在空间中，*行移动空间直角坐标系，称为空间直角坐标系的\(\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{*移}}}\) ，简称 \(\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{移轴}}}\) .

特点：

• 坐标轴的方向保持不变；

• 原点位置发生改变 .

𝑂𝑥𝑦𝑧 *移得到 𝑂′𝑥′𝑦′ 𝑧′

\(\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{brown}{空间直角坐标的*移变换公式} }}\)

设新坐标 \(𝑂′𝑥′𝑦′𝑧′\) 的坐标原点\(𝑂′\) 在旧坐标系\(𝑂𝑥𝑦𝑧\)下的坐标为 \(𝑂' (𝑥_0, 𝑦_0, 𝑧_0)\) .

点 \(𝑀\)在旧坐标系 \(𝑂𝑥𝑦𝑧\)下的坐标为\(𝑀 (𝑥, 𝑦,z)\) , 在新坐标系 \(𝑂′𝑥′𝑦′𝑧′\)下的坐标为 \(𝑀 (𝑥′, 𝑦′,𝑧′) .\)

则

\[\begin{aligned} \large\overrightarrow{𝑂𝑂′} = 𝑥_0𝒊 + 𝑦_0𝒋 + 𝑧_0𝒌 ,~~~ \overrightarrow{𝑂M} = 𝑥𝒊 + 𝑦𝒋 + 𝑧𝒌 ,~~~ \overrightarrow{𝑂'M} = 𝑥’𝒊 + 𝑦'𝒋 + 𝑧'𝒌 , \end{aligned} \]

故

\[\large\begin{aligned} \overrightarrow{𝑂M} &= \overrightarrow{𝑂𝑂′} + \overrightarrow{𝑂′𝑀} = 𝑥_0𝒊 + 𝑦_0𝒋 + 𝑧_0𝒌 + 𝑥′𝒊 + 𝑦′𝒋 + 𝑧′𝒌 ,\\ &=(𝑥′ + 𝑥_0) 𝒊 + (𝑦′ + 𝑦_0) 𝒋 + (𝑧′ + 𝑧_0) 𝒌 \end{aligned} \]

\(\large\color{magenta}{移轴公式:}\)

\[\begin{cases} x= 𝑥′ + 𝑥_0\\ y= y′ + y_0 \\𝑧 = 𝑧′ + 𝑧_0 . \end{cases} \]

代数表示：

\[\Rightarrow \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} x_0\\ y_0\\ z_0 \end{pmatrix} \]

\(\large\color{magenta}{移轴逆变换公式：}\)

\[\begin{cases} 𝑥′ = x- 𝑥_0\\ y′= y- y_0 \\𝑧′ = 𝑧 − 𝑧_0 . \end{cases} \]

\[\Rightarrow \begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} x_0\\ y_0\\ z_0 \end{pmatrix} \]

【注】 𝑂 在新坐标系 \(𝑂′𝑥′𝑦′𝑧′\)的坐标为 \((−𝑥_0, −𝑦_0, −𝑧_0)\).

例1

用移轴化简方程 \(𝐶: 9𝑥^2 + 4𝑦^2 + 36𝑧^2 − 36𝑥 + 8 𝑦 + 4 = 0\)， 并画出它的图形 .

【解】 配方整理得\(9(x -2)^2＋4(y ＋1)^2+36z^2=36.\)

令\(\begin{cases} x= 𝑥′ + 2\\ y= y′ -1 \\𝑧 = 𝑧′ . \end{cases}\), 或者\(\begin{cases} 𝑥′ = x-2\\ y′= y+ 1 \\𝑧′ = 𝑧 . \end{cases}\)

得\(C:\frac{x'^2}{4}+\frac{y'^2}{9}+z'^2=1\)．它表示一个椭球面．

【注】移轴不改变曲面的形状.

𝑂′ (2, −1,0)

2、空间直角坐标的旋转

在空间中，保持原点不动，将直角坐标系旋转 ，称为坐标系的\(\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{旋转变换}}}\) ，简称\(\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{转轴}}}\) .

特点：

• 坐标原点位置不变；

• 坐标轴方向发生改变（保持相互垂直和右手系）.

问题：转轴后，空间中的点的坐标如何改变？

\(\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{brown}{空间直角坐标的旋转变换公式} }}\)

设新坐标系 \(𝑂′𝑥′𝑦′𝑧′\) 下的基向量为 \(𝒊′,𝒋′, 𝒌′\).

\[{\begin{cases} i′= cos ~\alpha _1 i + cos ~\beta_1 j + cos~ \gamma _1 k , \\ j′= cos ~\alpha _2 i + cos ~\beta _2 j + cos~ \gamma _2 k , \\ k′= cos ~\alpha _3 i + cos ~\beta _3 j + cos~ \gamma _3 k , \\ \end{cases}} \]

代数表示：

\[\Rightarrow \begin{pmatrix} 𝒊′\\ 𝒋′\\ 𝒌′ \end{pmatrix}=\begin{bmatrix} cos ~\alpha_1 &cos ~\beta_1 &cos~ \gamma_1 \\ cos ~\alpha_2 &cos ~\beta_2 &cos~ \gamma_2 \\ cos ~\alpha_3 &cos ~\beta_3 &cos~ \gamma_3 \end{bmatrix}\begin{pmatrix} 𝒊\\ 𝒋\\ 𝒌 \end{pmatrix} \large\begin{aligned} \bbox[lime]{行向量为单位正交向量} \end{aligned} \]

设点 $𝑀 $在旧坐标系 \(𝑂𝑥𝑦𝑧\)下的坐标为\(𝑀 (𝑥, 𝑦,z)\) , 在新坐标系 \(𝑂′𝑥′𝑦′𝑧′\)下的坐标为 \(𝑀 (𝑥′, 𝑦′,𝑧′) .\)

\(\large\overrightarrow{𝑂M} = 𝑥𝒊 + 𝑦𝒋 + 𝑧𝒌 ,\overrightarrow{𝑂'M} = 𝑥’𝒊 ’+ 𝑦’𝒋’ + 𝑧’𝒌’\)

故

\[\begin{aligned} \overrightarrow{𝑂M}& =(x,y,z)\begin{pmatrix} 𝒊\\ 𝒋\\ 𝒌 \end{pmatrix} =(x',y',z')\begin{pmatrix} 𝒊'\\ 𝒋'\\ 𝒌' \end{pmatrix} \\ &=(x',y',z') \begin{bmatrix} &cos ~𝛼_1 &cos ~𝛽_1 &cos~ 𝛾_1 \\ &cos ~𝛼_2 &cos ~𝛽_2 &cos~ 𝛾_2 \\ &cos ~𝛼_3 &cos ~𝛽_3 &cos~ 𝛾_3 \end{bmatrix}\begin{pmatrix} 𝒊\\ 𝒋\\ 𝒌 \end{pmatrix} \end{aligned} \]

\[(x,y,z) =(x',y',z') \begin{bmatrix} &cos ~𝛼_1 &cos ~𝛽_1 &cos~ 𝛾_1 \\ &cos ~𝛼_2 &cos ~𝛽_2 &cos~ 𝛾_2 \\ &cos ~𝛼_3 &cos ~𝛽_3 &cos~ 𝛾_3 \end{bmatrix} \]

转置\(\Huge\color{magenta}\Rightarrow\)

\[\bbox[pink]{\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{bmatrix} &cos ~𝛼_1 &cos ~𝛼_2 &cos ~𝛼_3 \\ &cos ~𝛽_1 &cos ~𝛽_2 &cos ~𝛽_3 \\ & cos~ 𝛾_1 & cos~ 𝛾_2 &cos~ 𝛾_3 \end{bmatrix}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix} =\begin{bmatrix} &r_{11} &r_{12} &r_{13} \\ &r_{21} &r_{22} &r_{23} \\ &r_{31} &r_{32} &r_{33} \end{bmatrix}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix} } \]

其中，列向量为单位正交向量。

\[r_{1j}^2 + r_{2j}^2+ r_{3j}^2= 1 , r_{1i}r_{1j} +r_{2i} r_{2j}+ r_{3i}r_{3j}= 0, 𝑖,𝑗 = 1,2,3; 𝑗 ≠ 𝑖 . \]

\(\large\color{magenta}{转轴公式:}\)

\[\bbox[pink]{\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{bmatrix} &r_{11} &r_{12} &r_{13} \\ &r_{21} &r_{22} &r_{23} \\ &r_{31} &r_{32} &r_{33} \end{bmatrix}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix} } \]

\[R=\begin{bmatrix} &r_{11} &r_{12} &r_{13} \\ &r_{21} &r_{22} &r_{23} \\ &r_{31} &r_{32} &r_{33} \end{bmatrix}\color{magenta}{——转轴矩阵} \]

性质

• (1)矩阵\(R\)的列向量是单位正交向量，即\(R\)是正交矩阵．
• (2)\(RR^T =I\) .
• (3)\(R^{-1} = R^T\).
• (4)\(|R|=1\).

\(\large\color{orange}{转轴矩阵的行列式为1 }\)

因为\({\begin{cases} 𝒊′= cos ~𝛼_1 𝒊 + cos ~𝛽_1 𝒋 + cos~ 𝛾_1 𝒌 , \\ 𝒋′= cos ~𝛼_2 𝒊 + cos ~𝛽_2 𝒋 + cos~ 𝛾_2 𝒌 , \\ 𝒌′= cos ~𝛼_3 𝒊 + cos ~𝛽_3 𝒋 + cos~ 𝛾_3 𝒌 , \\ \end{cases}}\)

\(|R^T|=\begin{vmatrix} &cos ~𝛼_1 &cos ~𝛽_1 &cos~ 𝛾_1 \\ &cos ~𝛼_2 &cos ~𝛽_2 &cos~ 𝛾_2 \\ &cos ~𝛼_3 &cos ~𝛽_3 &cos~ 𝛾_3 \end{vmatrix} = (𝒊′𝒋′𝒌′) = 1 ,\)

所以 \(|R|=1\).

【注】（1）转轴矩阵是行列式为1的正交矩阵

（2）正交矩阵未必为转轴矩阵

\(\large\color{orange}{空间直角坐标的旋转变换公式}\)

\[\left\{\begin{array}{l}x=r_{11} x^{\prime}+r_{12} y^{\prime}+r_{13} z^{\prime} \\ y=r_{21} x^{\prime}+r_{22} y^{\prime}+r_{23} z^{\prime} \\ z=r_{31} x^{\prime}+r_{32} y^{\prime}+r_{33} z^{\prime}\end{array} \quad\Leftarrow \quad \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right) =\left[\begin{array}{lll}r_{11} & r_{12} & r_{13} \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} \\ r_{31} & r_{32} & r_{33}\end{array}\right]\left(\begin{array} {l}x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime}\end{array}\right)\right. \]

\(\longrightarrow r_{11} x+r_{21} y+r_{31} z=\left(r_{11}^{2}+r_{21}^{2}+r_{31}^{2}\right) x^{\prime}\)
\(+\left(r_{11} r_{12}+r_{21} r_{22}+r_{31} r_{32}\right) y^{\prime}+\left(r_{11} r_{13}+r_{21} r_{23}+r_{31} r_{33}\right) z^{\prime}=x^{\prime}\)

可以得到：

\[\begin{array}{l} x^{\prime}=r_{11} x+r_{21} y+r_{31} z \\ y^{\prime}=r_{12} x+r_{22} y+r_{32} z \\ z^{\prime}=r_{13} x+r_{23} y+r_{33} z \end{array} \quad \longrightarrow \quad\left(\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime} \end{array}\right)=\left[\begin{array}{lll} r_{11} & r_{21} & r_{31} \\ r_{12} & r_{22} & r_{32} \\ r_{13} & r_{23} & r_{33} \end{array}\right]\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) \]

\(\large\color{magenta}{转轴逆变换公式：}\)

\[\bbox[pink]{\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix} =\begin{bmatrix} &r_{11} & r_{21} &r_{31} \\ &r_{12} &r_{22} & r_{32} \\ & r_{13} &r_{23} &r_{33} \end{bmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} } \]

\[转轴公式： 𝒙 = 𝑅 𝒙′\\ 𝑅^T 𝒙 = 𝑅^T𝑅𝒙′ = 𝒙′.\\ 转轴逆变换公式： 𝒙′ = 𝑅^T 𝒙.\\ \]

例2

证明：对于任意旋转变换, 多项式 \(F(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-1\)
变成 \(F\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)=x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-1\)

【证1】 由转轴公式 \(\quad\left\{\begin{array}{l}x=r_{11} x^{\prime}+r_{12} y^{\prime}+r_{13} z^{\prime} \\ y=r_{21} x^{\prime}+r_{22} y^{\prime}+r_{23} z^{\prime}, \quad \text { 代入化简得 } \\ z=r_{31} x^{\prime}+r_{32} y^{\prime}+r_{33} z^{\prime}\end{array}\right.\)

\(F(x, y, z)=\left(r_{11} x^{\prime}+r_{12} y^{\prime}+r_{13} z^{\prime}\right)^{2}+\left(r_{21} x^{\prime}+r_{22} y^{\prime}+r_{23} z^{\prime}\right)^{2}\)
\(+\left(r_{31} x^{\prime}+r_{32} y^{\prime}+r_{33} z^{\prime}\right)^{2}-1=\left(r_{11}^{2}+r_{21}^{2}+r_{31}^{2}\right) x^{\prime 2}+\left(r_{12}^{2}+r_{22}^{2}+r_{32}^{2}\right) y^{\prime 2}\)
\(+\left(r_{13}^{2}+r_{23}^{2}+r_{33}^{2}\right) z^{\prime 2}+\left(r_{11} r_{12}+r_{21} r_{22}+r_{31} r_{32}\right) x^{\prime} y^{\prime}\)
\(+\left(r_{12} r_{13}+r_{22} r_{23}+r_{32} r_{33}\right) y^{\prime} z^{\prime}+\left(r_{11} r_{13}+r_{21} r_{23}+r_{31} r_{33}\right) z^{\prime} x^{\prime}-1\)

故 \(\quad F(x, y, z)=x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-1 .\)
【注 】球面方程 \(S: x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\) 对于任意旋转变换都保持形式不变

【证2】

\[\quad F(x, y, z)=(x, y, z)\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)-1=x^{\mathrm{T}} x-1 \]

对于旋转变换 \(x=R x^{\prime},\) 有

\[\begin{aligned} F(x, y, z) &=\left(R x^{\prime}\right)^{\mathrm{T}}\left(R x^{\prime}\right)-1=x^{\prime \mathrm{T}} R^{\mathrm{T}} R \boldsymbol{x}^{\prime}=\boldsymbol{x}^{\prime \mathrm{T}} \boldsymbol{x}^{\prime}-1 \\ &=x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-1 \end{aligned} \]

\(\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{brown}{空间直角坐标的一般变换} }}\)

从几何上容易理解，移轴和转轴都不改变二次曲面的图形

设新坐标 \(𝑂′𝑥′𝑦′𝑧′\) 的坐标原点\(𝑂′\) 在旧坐标系\(𝑂𝑥𝑦𝑧\)下的坐标为 \(𝑂′ (𝑥_0, 𝑦_0, 𝑧_0)\) .

点 $𝑀 $在旧坐标系 \(𝑂𝑥𝑦𝑧\)下的坐标为\(𝑀 (𝑥, 𝑦,z)\) , 在新坐标系 \(𝑂′𝑥′𝑦′𝑧′\)下的坐标为 \(𝑀 (𝑥′, 𝑦′,𝑧′) .\)

\(\large\overrightarrow{𝑂O'} = 𝑥_0𝒊 + 𝑦_0𝒋 + 𝑧_0𝒌 ,~~~ \overrightarrow{𝑂M} = 𝑥𝒊 + 𝑦𝒋 + 𝑧𝒌 ,~~~ \overrightarrow{𝑂'M} = 𝑥’𝒊 ’+ 𝑦’𝒋’ + 𝑧’𝒌’\)

\(\Huge\color{magenta}\Rightarrow\) \(\overrightarrow{𝑂M}=\overrightarrow{𝑂O'} +\overrightarrow{𝑂'M}=𝑥_0𝒊 + 𝑦_0𝒋 + 𝑧_0𝒌 + 𝑥’𝒊 ’+ 𝑦’𝒋’ + 𝑧’𝒌’\)

由\({\begin{cases} 𝒊′= cos ~𝛼_1 𝒊 + cos ~𝛽_1 𝒋 + cos~ 𝛾_1 𝒌 , \\ 𝒋′= cos ~𝛼_2 𝒊 + cos ~𝛽_2 𝒋 + cos~ 𝛾_2 𝒌 , \\ 𝒌′= cos ~𝛼_3 𝒊 + cos ~𝛽_3 𝒋 + cos~ 𝛾_3 𝒌 , \\ \end{cases}}\) 知，

\[\begin{aligned} \overrightarrow{𝑂M}& =(x,y,z)\begin{pmatrix} 𝒊\\ 𝒋\\ 𝒌 \end{pmatrix} =(x_0,y_0,z_0)\begin{pmatrix} 𝒊\\ 𝒋\\ 𝒌 \end{pmatrix}+(x',y',z')\begin{pmatrix} 𝒊'\\ 𝒋'\\ 𝒌' \end{pmatrix} \\ &=(x_0,y_0,z_0)\begin{pmatrix} 𝒊\\ 𝒋\\ 𝒌 \end{pmatrix}+(x',y',z') \begin{bmatrix} cos ~𝛼_1 &cos ~𝛽_1 &cos~ 𝛾_1 \\ cos ~𝛼_2 &cos ~𝛽_2 &cos~ 𝛾_2 \\ cos ~𝛼_3 &cos ~𝛽_3 &cos~ 𝛾_3 \end{bmatrix}\begin{pmatrix} 𝒊\\ 𝒋\\ 𝒌 \end{pmatrix} \end{aligned} \]

\(\large\color{magenta}{空间直角坐标的一般变换公式}\)

\[{\begin{cases} x= x'~ cos ~𝛼_1 + y'~cos ~𝛼_2 + z'~cos ~𝛼_3 +x_0, \\ y= x'~cos ~𝛽_1 +y'~cos ~𝛽_2 + z'~cos ~𝛽_3 +y_0, \\ z = x'~cos~ 𝛾_1 + y'~cos~ 𝛾_2 + z'~cos~ 𝛾_3 +z_0. \\ \end{cases}} \]

【注】先移轴再转轴，还是先转轴再移轴，一般变换公式最终形式都一样 .

\(\large\color{magenta}{空间直角坐标的一般变换的逆变换公式}\)

\[{\begin{cases} x′= (x-x_0)cos ~𝛼_1 + (y-y_0)cos ~𝛽_1 + (z-z_0)cos~ 𝛾_1 , \\ y′=(x-x_0) cos ~𝛼_2 +(y-y_0) cos ~𝛽_2 + (z-z_0)cos~ 𝛾_2 , \\ z′= (x-x_0)cos ~𝛼_3 + (y-y_0) cos ~𝛽_3 +(z-z_0) cos~ 𝛾_3 , \\ \end{cases}} \]

3、空间直角坐标的伸缩

称变换\(\begin{cases} x= a𝑥′ \\ y= by′ \\𝑧 =c 𝑧′ . \end{cases}\)为空间直角坐标系的伸缩（其中 𝑎𝑏𝑐 ≠ 0）.

即 \(\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} =\begin{bmatrix} a & 0 &0 \\ 0 &b & 0 \\ 0 &0 &c \end{bmatrix}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}\)

【注】伸缩改变二次曲面的形状，但不改变其类型 .

利用空间直角坐标系的\(\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{伸缩变换}}}\) ，将常见二次曲面方程化为最简方程,便于理解这些方程和图形的特点．

例如，椭球面\(\large S:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,(𝑎, 𝑏, 𝑐 > 0)\) 在伸缩变换\(\begin{cases} x= a𝑥′ \\ y= by′ \\𝑧 =c 𝑧′ . \end{cases}\) 下，变成最简形式\(𝑆′: 𝑥′^2 + 𝑦′^2 + 𝑧′^2 = 1\)，它是一个单位球面 .

这样，我们就可以把椭球面看作是单位球面的一个伸缩

参考资料

[1] 宋卫东 . 《解析几何》，高等教育出版社.

[2] 丘维声编. 《解析几何》. 北京大学出版社.

[2] 吕林根，许子道等编. 《解析几何》. 高等教育出版社.

[3] 吕林根. 《解析几何学*辅导书》. 高等教育出版社.

[4] 谢敬然，柯媛元. 空间解析几何，高等教育出版社

[5] 周*伟 解析几何，高等教育出版社