数论杂题

抄的 do_while_true 的夏令营讲义。

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[SNOI2019] 数论

以 \(\operatorname{lcm}\) 为周期，每个周期直接算，考虑最后的散段怎么做。考察一个经典结构，对于 \([0,Q-1]\) 中的数建立一个点，每个点向 \((i+P)\bmod Q\) 连边，那么整个图会被分为 \(\gcd(P, Q)\) 个环，每个环的点数是 \(\dfrac{\operatorname{lcm}(P,Q)}{P}\)。假设 \(P\leq Q\)，在这个结构上考虑问题，枚举 \(a_i\)，我们要找 \(a_i\) 这个环上有多少个 \(b\)，在环上做前缀和就可以了。

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HDU 5728（共加五个 0）

相较原题 \(n\leq 10^{10},m\leq 10^9\)。

对于 \(\sum \varphi(in)\) 经典做法是

\[\sum_{i=1}^m\varphi(in)=\sum_{i=1}^m\dfrac{\varphi(i)\varphi(n)}{\varphi(\gcd(i,n))}\gcd(i,n) \]

然后各种经典套路往里扔，最后推出来

\[Ans=\varphi(n)\sum_{T|n}(\sum_{d|T}\dfrac{d}{\varphi(d)}\mu(\dfrac{T}{d}))(\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{m}{T}\rfloor}\varphi(iT)) \]

而 \(\mu^2(n)=1\) 告诉我们 \(n\) 没有平方因子，于是对于 \(d\) 可以预处理每个因子 \(d\) 的价值，左边那一坨直接 \(O(3^{\omega(n)})\) 剥蒜，右边的地柜下去知道 \(n=1\) 是跑一遍杜教筛就做完了。

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CF1034C Region Separation

设权值和为 \(S\)，分成 \(k\) 份，那么 \(u\) 的父边需要被断掉当且仅当 \(s_u\bmod S/k=0\)，考虑求 \(f_k\) 表示多少个 \(u\) 满足条件，则符合约束当且仅当 \(f_k=k\)，考虑求 \(f\)，等价变化一下，条件等价于 \(S/k|\gcd(s_u,S)\)，进一步等价于 \(\frac{S}{\gcd(s_u,S)}|k,k|S\),然后将所有 \(\frac{S}{\gcd(s_u,S)}\) 标记出来做 Dirichlet 前缀和即可。