数论函数

定义：

积性函数：

1. 若对于正整数\(a,b\)有\(\gcd(a,b)=1\)且\(f(ab)=f(a)f(b)\),则\(f\)函数为积性函数
2. 若对于任意的正整数\(a,b\)，有\(f(ab)=f(a)f(b)\)，则\(f\)函数为完全积性函数

常见积性函数：

\[\varphi(p)=\sum_{i=1}^{p}[\gcd(i,p)=1] \]

\[\begin{equation} \mu(u)=\left\{ \begin{aligned} & 1 \quad n=1\\ & 0 \quad n含有平方因子\\ & (-1)^{w(k)} \quad otherwise \end{aligned} \right . \end{equation} \]

\[(w(x)为x本质不同的质因子数) \]

\[1(n)=1 \]

\[id(n)=n\\ \]

\[id_k(n)=n^k\\ \]

\[\sigma(n)=\sum_{d|n}d\\ \]

\[\sigma_k(n)=\sum_{d|n}d^k\\ \]

\[\epsilon(n)=[n==1]\\ \]

\[d(n)=\sum_{d|n}1\\ \]

\[\sigma_0=d \]

\(Dirichlet\)卷积：

\[\mu*1=\epsilon\\ \]

\[\varphi*1=Id\\ \]

\[id*1=\sigma\\ \]

\[id_k*1=\sigma_k\\ \]

\[1*1=d \]

证明：

证明\(\varphi*1=Id\)，即：

\[\sum_{d|n}\varphi(d)=n \]

证明：

1. \(\because\)每个数与\(n\)取\(\gcd\)的值有且只有一个，\(\therefore\)枚举所有的\(\gcd\),设为\(d_i\)，将所有\(\gcd=d_i\)的数量加起来就是\(n\)，也就是\(\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{n}[\gcd(i,n)=d]=n\)
2. 进行进一步转化，就转化成了\(\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{n}[\gcd(\frac{i}{d},\frac{n}{d})=1]=\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}[\gcd(i,\frac{n}{d})=1]=\sum_{d|n}\varphi(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}\varphi(d)=n\)

证毕

证明\(\mu*1=\epsilon\)，即：
\(\sum_{d|n}\mu(d)=\epsilon(n)\)

1. 首先当\(n=1\)成立
2. 考虑\(n\)不等于\(1\)，那么需要计算\(b\)的所有约数的\(\mu\)值的和，将\(\mu\)唯一表示为\(\prod p_i^{c_i}\)，发现，\(c_i>1\)的约数对最终的值没有贡献，所以考虑\(c_i\le 1\)的那些约数，那么假设所有本质不同的约数个数为\(k\)个，那么可以算出最终的答案为\(\sum_{i=1}^{k}(_i^k)(-1)^k\),根据二项式定理得到该式子等价于\((1-1)^k=0\)\

证毕

剩下的比较直接，直接拆式子即可