BSGS6

用途 :

用来解决形似\(a^x\equiv c\mod P(a,c,P为常数且P为质数,a为P的原根,x为要求的数)\)

插播:

\(x\)的范围为\(0\le x\le P-1\)

证明:

因为\(a\)是\(P\)的原根,所以$\left { a^0,a1,\dots,a^{P-1} \right }\mod P 后是\left { 0,1,\dots,P-1 \right } $,所以\(0\le x\le P-1\)

题方法：

1. 暴力：从\(0\)开始枚举\(x\),直到有答案,时间复杂度\(O(P\log P)\)
2. BSGS
   找一个常数\(K\) ,将\(x\)分成\(Kp-q(p\in\left\{1,2,\dots,\lceil P/K\rceil \right\},q\in\left\{1,2,3,\dots,K \right\})\)，这样可以将\(x\)枚举全。
   此时得到\(a^{Kp-q}\equiv c \mod P\)即\(a^{Kp}\equiv ca^q\mod p\)
   这时枚举右侧式子并存在一个桶里，然后枚举左侧，看桶中有没有满足条件的，有的话就找到了一组可行解。
   \(K\)的取值：因为时间复杂度为\(O((\lceil P/K\rceil + K)\log K)\),中间括号里的式子可以用基本不等式求出最小值为\(2\sqrt{P}\)此时\(K = \sqrt{P}\)，时间复杂度为\(O(2\sqrt{P}log\sqrt{P})\)

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