上界、下界和确界

定义

$O$ 符号

定义：令 $f(n)$ 和 $g(n)$ 是从自然数集到非负实数集的两个函数，如果存在一个自然数 $n_0$ 和一个常数 $c>0$，使得

$$\forall n \geq n_0,\ f(n) \leq cg(n)$$

称 $f(n)$ 为 $O(g(n))$.

用极限的判断方法是：

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{f(n)}{g(n)} \neq \infty$ 蕴含着 $f(n) = O(g(n))$.

$\Omega$ 符号

定义：令 $f(n)$ 和 $g(n)$ 是从自然数集到非负实数集的两个函数，如果存在一个自然数 $n_0$ 和一个常数 $c>0$，使得

$$\forall n \geq n_0,\ f(n) \geq cg(n)$$

称 $f(n)$ 为 $\Omega(g(n))$.

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{f(n)}{g(n)} \neq 0$ 蕴含着 $f(n) = \Omega(g(n))$.

$\Theta$ 符号

定义：令 $f(n)$ 和 $g(n)$ 是从自然数集到非负实数集的两个函数，如果存在一个自然数 $n_0$ 和两个正个常数 $c_1, c_2$，使得

$$\forall n \geq n_0,\ c_1g(n) \leq g(n) \leq c_2g(n) $$

称 $f(n)$ 为 $\Theta(g(n))$.

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{f(n)}{g(n)} = c$ 蕴含着 $f(n) = \Theta(g(n))$.

举例

1、像插入排序这样的算法，由于运行时间从线性到平方，因此没有准确界。

2、任一常函数是 $f(n)$ 为 $\Theta(g(n))$.

3、$f(n) = \Theta f(n+1)$?不一定。例如 $2^n$ 满足，$n!$ 不满足。

4、求 $f(n) = log(n!)$ 的确界

因为 $log(n!) = \sum_{i=1}^nlog(i)$，显然 $\sum_{j=1}^nlog(j) \leq \sum_{j=1}^nlog(n)$，即 $\sum_{j=1}^nlog(j) = O(nlogn)$；又 $\sum_{j=1}^nlog(j) \leq \sum_{j=1}^{n/2}log(\frac{n}{2}) = \frac{n}{2}log(\frac{n}{2}) = \frac{n}{2}logn - \frac{n}{2}log2$，那么 $\sum_{j=1}^nlog(j) = \Omega (nlogn)$，因此 $\sum_{j=1}^nlog(j) = \Theta (nlogn)$