188. 买卖股票的最佳时机 IV -- DP问题如何确定dp数组的含义以及状态转移方程？

188. 买卖股票的最佳时机 IV

如何推导状态转移方程？
当前层的每一个状态来自上一层的哪些状态？
若状态转移方程中出现复杂计算，改变dp数组的定义或增加dp数组的维度。

class Solution {

    public int maxProfit(int k, int[] prices) {
        if (prices.length == 0) return 0;

        int n = prices.length;
        // dp[i][j][0/1]:
        // i：第 i 天（0-based）
        // j：已完成的交易次数（最多 j 次买卖）
        // 0：不持股；1：持股
        int[][][] dp = new int[n][k + 1][2];

        // 初始化：第 0 天
        // 不持股自然收益为 0；持股意味着在第 0 天买入，收益为 -prices[0]
        for (int j = 0; j <= k; j++) {
            dp[0][j][0] = 0;              // 第 0 天不持股
            dp[0][j][1] = -prices[0];     // 第 0 天持股（买入）
        }

        // 状态转移从第 1 天开始
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = 1; j <= k; j++) {

                // dp[i][j][0] —— 第 i 天不持股的最大利润
                // 两种方式：
                // 1) 昨天不持股，今天不操作
                // 2) 昨天持股，今天卖出（卖出后交易数仍为 j）
                dp[i][j][0] = Math.max(dp[i - 1][j][0],dp[i - 1][j][1] + prices[i]);

                // dp[i][j][1] —— 第 i 天持股的最大利润
                // 两种方式：
                // 1) 昨天持股，今天不操作
                // 2) 昨天不持股，今天买入（买入开始第 j 次交易）
                dp[i][j][1] = Math.max(dp[i - 1][j][1], dp[i - 1][j - 1][0] - prices[i]);
            }
        }

        // 最终结果：最后一天、不持股、完成最多 k 次交易的最大收益
        return dp[n - 1][k][0];
    }
}

下面将以严格的动态规划推导方式解释本题中三维 DP 的递推公式为何这样写，并从状态含义、动作选择、转移推导三个角度给出完整推导。

---

一、状态定义为什么是 dp[i][j][0/1]

我们定义：

• i：第 i 天（0 ≤ i < n）

• j：到目前为止最多进行了 j 次“完整交易”（一次交易 = 买 + 卖）

• 0/1：当前是否持有股票

  • 0 → 不持有
  • 1 → 持有

因此：

dp[i][j][0] = 第 i 天、最多完成 j 次交易时、不持股的最大利润
dp[i][j][1] = 第 i 天、最多完成 j 次交易时、持股的最大利润

---

二、每个状态能来自哪些前一天的状态？

我们按“今天是否持股”分类讨论。

---

1）推导 dp[i][j][0] —— 今天不持股

今天不持股，有两种可能：

情况 A：昨天也不持股，今天什么也不做

dp[i-1][j][0]

情况 B：昨天持股，今天卖出（完成一次交易）

如果今天卖出，则交易数不增加（因为“买”已经算了交易的开始，“卖”完成交易，也算当前这一次仍属于 j 次交易内）。
换言之：我们仍然处于 “j 次交易” 的范围内。

昨天持股 → 今天卖出：

dp[i-1][j][1] + prices[i]

所以两者取最大值：

dp[i][j][0] = max( dp[i-1][j][0], dp[i-1][j][1] + prices[i] )

---

2）推导 dp[i][j][1] —— 今天持股

今天持股，也有两种可能：

情况 A：昨天就持股，今天不操作

dp[i-1][j][1]

情况 B：昨天不持股，今天买入

买入会开始一次交易，因此交易次数应从 j-1 过渡到 j：

昨天不持股且已经完成了 j-1 次交易 → 今天买入

dp[i-1][j-1][0] - prices[i]

因此：

dp[i][j][1] = max( dp[i-1][j][1], dp[i-1][j-1][0] - prices[i] )

---

三、为什么买入时交易次数 j 要减一？

这是很多同学的疑惑。

在股票问题中，“一次交易”通常指 买 + 卖。
我们采用的定义是：

交易次数 j 表示“卖出操作的次数”，即已有多少次完整交易。

因此：

• 买入不会立即增加交易次数
• 卖出会完成一次交易（但在这个 DP 定义下，卖出仍然处于 j 次交易的状态，不需要 +1）

而买入要从“上一次完整交易次数 j-1” 来，因为：

买入只能发生在卖出后，因此必须从 j-1 的不持有状态转移

这就是：

dp[i][j][1] = dp[i-1][j-1][0] - prices[i]

的数学理由。

---

四、初始化为何是 dp[0][i][1] = -prices[0]

在第 0 天，如果我们持股票，则表示第 0 天买入：

dp[0][j][1] = -prices[0]

这里 j 任意（1 ≤ j ≤ k）都可以买入，但最多只是为了统一化处理，不影响最终答案。

---

五、全公式总结（和你代码一致）

不持有状态：

dp[i][j][0] = \max( dp[i-1][j][0],\ dp[i-1][j][1] + prices[i] )

持有状态：

dp[i][j][1] = \max( dp[i-1][j][1],\ dp[i-1][j-1][0] - prices[i] )

---

六、直观解释（非数学推导，帮助理解）

• 卖出状态 = （昨天就不持股）vs（今天卖掉）
• 持股状态 = （昨天就持股）vs（今天买入）

图示：

  昨天持股  ----卖出→   今天不持股
      ↑                 ↑
      └------买入←------┘

---

七、你真正应该记住的核心逻辑

• dp[i][j][0] 由 “昨天不持股” 或 “昨天持股并今天卖出” 来
• dp[i][j][1] 由 “昨天持股” 或 “昨天不持股并今天买入” 来
• 买入动作对应从 j-1 次交易转移到 j 次交易

---