[agc019f]Yes or No

• 题目链接

  agc019f

• 题目大意

  有一长为 \(N+M\) 的 \(01\) 序列，其中恰有 \(N\) 个 \(1\) 和 \(M\) 个 \(0\)，顺序未知。

  进行 \(N+M\) 次操作，每次回答 \(0\) 或 \(1\)，会给出是否匹配。

  求在最优策略下，匹配个数的期望。答案对 \(998244353\) 取模。

  \(N,M\le 5\times 10^5\)

  部分分：\(N=M\space and\space N,M\le 10^5\)

• 题解

  首先题目可以转化为在一个 \(N\times M\) 的矩形上行走，对于一个点 \((i,j)\)，其权值为 \(\frac{max(i,j)}{i+j}\) 。求的就是路径的期望权值，也就是所有路径的权值和。

  自然想到对 \(i+j=k\) 的统一算，但仍然不是很好算。

  我们考虑 \(k\to k+1\) 的过程，发现只有经过 \(y=x\) 以下的水平线和其以上的竖直线才会令答案加一。那么我们对水平和竖直分开算。

  以水平线为例，若我们将水平线缩点，发现这是计数经过点 \((i,j)\space (i+j=k\space and\space i\ge j)\) 的路径。

  同样考虑 \(k\to k+1\) 的过程，发现可以直接通过组合数加减得到。

  那么我们就可以 \(O(1)\) 统计出 \(i+j=k\) 的点 \((i,j)\) 的权值和了。

  总复杂度 \(O(N+M)\) 。