懒癌

• 题目链接

  uoj#76

• 题目大意

  有 \(n\) 个人，每个人都有一种状态 \(0\) 或 \(1\) ，如果一个人在某天知道自己的状态为 \(1\) ，那么会在当天开枪自杀。

  每个人能知道其余若干人的状态，这构成一个有向图。

  人与人不会相互交流，所有人都知道这 \(n\) 个人中至少有一个人状态为 \(1\) 。

  一旦有人自杀则立即停止。

  求：对于所有 \(2^n-1\) 种可能状态，开枪时间和以及自杀人数和（同一天自杀算多个人），对 \(998244353\) 取模。

  \(n\le 3000\)

• 题解

  首先考虑完全图。

  不难归纳证明出有 \(k\) 个人为 \(1\) 就是第 \(k\) 天，死 \(k\) 个人。

  我们考虑 \(dp\) 。

  然后考虑一个人的推理过程：肯定是先假设自己为 \(0\) ，然后对于所有的可能状态 \(S\) ，\(\max\{f_S\}+1\) 就是自己的开枪时间。

  那么我们可以枚举所有状态 \(S\) ，对于其中每一个状态为 \(1\) 的 \(i\) ，有一个他能看到的状态 \(T\) ，再枚举他看不到的所有可能状态 \(X\) ，那么 \(t_i=\max\{f_{T\cup X}\}+1\) ，所以 \(f_S=\min\{t_i|i\in S\}\) 。

  考虑在 \(DAG\) 上转移，我们发现如果一个状态能结束当且仅当转移无环。对于一个人 \(i\in S\) ，转移相当于把自己变为 \(0\) ，将无出边的人变为 \(1\) 。那么我们考虑在补图上做这个事情。

  根据转移无环，那么我们将所以指向强联通分量的删去，就会得到一个 \(DAG\) （补图意义下）。

  接下来我们证明一个结论：

  一个状态 \(S\) 的 \(f_S\) 为在这个 \(DAG\) 上 \(S\) 中的点直接或间接能到达的点的个数。

  考虑按拓扑序从大到小归纳。

  对于一个空集，显然成立。

  那么考虑状态 \(S\) 的任意一个点 \(i\) ，我们将 \(i\) 变为 \(0\) 使得 \(i\) 所指的点变为 \(1\) ，那么由归纳假设知 \(t_i\) 为这个新状态 \(T\) 的 \(f_T+1\) 。所以所有的 \(i\in S\) 的 \(t_i\) 均满足这个结论，所以结论对于 \(S\) 成立。证毕。

  所以就是对于一个 \(DAG\) 求所有状态能到达的点的数量，随便怎么做都行。