电子科技大学研究生试卷
课程名称 图论及应用
教师 学时 60 学分 3
教学方式 堂上授课
考核日期 2018 年 6 月 日
一．填空题(每空3分，共15分)
1.具有\(m\)条边的简单图\(G\)中所有不同生成子图(包括\(G\)和空图)的个数为
。\(2^m\)
2.已知图G是\(n\)阶完全\(l\)部的顶点数为\(n_i(1\leq i\leq l)\),则图\(G\)的边数\(m(G)=\)____________________。\(\sum_{1\leq i\leq j\leq l}(n_in_j)\)
3.图1中最小生成树\(T\)的权值\(W(T)=\)_________________________________________。10
4.图2中的块的个数为
。7
5.图3中强连通分支个数为
。5
二．单项选择题(每题3分，共15分)
1．下列非负整数序列中，不是图的度序列的是 ( ) A
A.(1,0,1,5,2,4,6); B(2,4,6,8,2) C(6,5,4,3,2,2,2) D(0,0,0,0,0,0)
2．下列说法正确的是（ ）B
(A)n阶完全图一定没有割边；
(B) n阶完全图一定没有割点；
(C) 有割边的简单图一定有割点；
(D) 有割点的图一定有割边。
3.下列说法错误的是( )A
(A) 图的点连通度大于等于图的边连通度；
(B) 若图G=(n<m)的点连通度为
，则其边数
；
(C) n阶图的点连通度一定小于或等于n-1；
(D) 图G是K连通的，则G的连通度至少为K。
- 下列说法正确的是( )B
(A) 欧拉图一定是哈密尔顿图；
(B) 任意一棵非平凡树一定是一个简单偶图；
(C) 如果
阶单图
满足
，则图G是非哈密尔顿图；
(D) 任意偶图一定是非哈密尔顿图。
5.下列说法错误的是( )D
(A) 图G的匹配M是最大匹配当且仅当G中不存在M可扩路；
(B) 在偶图中最大匹配的边数等于最小点覆盖的顶点数；
(C)k(k≥1)正则偶图一定存在完美匹配；
(D) 有割点的三正则图一定没有完美匹配。
三.（10分）说明整数序列\(\pi =(6,5,4,3,2,2,2)\)是简单图的度序列(图序列)，并作出一个对应的简单图G。
解：思路 G是图序列\(\Leftrightarrow\)删除第一个元素d1之后的前d1个元素分别减一后得到的序列仍是图序列
\(\pi_1=(4,3,2,1,1,1)\) \(\pi_2=(2,1,1,0.0)\)是图序列，故\(\pi\)是图序列。作图思路（倒着作，先作\(\pi_2\)，通过加点，作\(\pi_1\),再加点，作\(\pi\)）
四. (10分) 设\(\tau(G)\)表示图G的生成树的棵数，求证：对图G的任意一条边e来说，有\(\tau(G)=\tau(G-e)+\tau(G.e)\)
证明：对于G的一条边e来说，G的生成树中包含边e的棵数为τ(G.e )，而不包含e的棵数为τ (G-e).
五.(10分) 求证：若G是n≥3的非哈密尔顿简单图，则G度弱于某个\(C_{m,n}\)图。
证明： 设G是度序列为 \((d_1,d_2,...d_n)\)的非H单图，\(d_1\leq d_2\leq...\leq d_n,n\geq3\)。由度序列判定法：存在m<n/2,使得dm≤m,且dn-m<n-m.于是，G的度序列必弱于如下序列：
\(\overbrace{m,m,...m}^{m},\overbrace{n-m-1,n-m-1,...,n-m-1}^{n-2m},\overbrace{n-1,n-1,...,n-1}^m\)
而上面序列正好是图\(C_{m,n}\)的度序列。
六.(10分) 求证：对于\(n\geq1\)，完全图\(K_{4n+1}\)是4-可因子分解的。
证明： \(K_{4n+1}=K_{2(2n)+1}\)，所以，可以分解为2n个边不重的2因子之和。而任意2个2因子可以并成一个4因子。所以，共可以并成n个4因子。即可\(K_{4n+1}\)以分解为n个4因子的和。所以：对n≥1，\(K_{4n+1}\)有一个4因子分解
七.(10分) 设\(G^*\)是具有\(k(k\geq2)\)个连通分支的平面图G的对偶图，已知G的边数m=10，面数\(\phi =3\)，求\(G^*\)的面数\(\phi^*\)。
解：平面图G的对偶图必然连通。则\(n^*+\phi^*-m^*=2\)，又\(n^*=\phi=3\)，\(m^*=m=10\)，得\(\phi^*=2+10-3=9\)
八.(10分) 求下图4的色多项式\(p_k(G)\)，并求出点色数\(\chi(G)\)。
解：画出图G的补图\(\overline{G}\)
\(p_k(\overline G)=x(x+x^2)^2=x^5+2x^4+x^3=k(k-1)(k-2)(k-3)(k-4)+2k(k-1)(k-2)(k-3)+k(k-1)(k-2)\)
\(p_1(G)=p_2(G)=0,p_3(G)=6\),
所以，\(\chi(G)=3\)
九．(10分) (比赛安排问题) Alvin (A)曾邀请3对夫妇到他的避暑别墅住一个星期。他们是：Bob和Carrie , David和Edith, Frank和Gena。由于这6人都喜欢网球运动，所以他们决定进行网球比赛。6位客人的每一位都要和其配偶之外的每位客人比赛。另外，Alvin将分别和David， Edith， Frank， Gena进行一场比赛。若没有人在同一天进行2场比赛，则要在最少天数完成比赛，如何安排？。
解：用点表示参赛人，两点连线当且仅当两人有比赛。这样得到比赛状态图。 问题对应于求状态图的一种最优边着色(用最少色数进行正常边着色)。
状态图为：
由于n=2×3+1, 所以k=3。而Δ=5 ，m=16>3×5=kΔ,所以由定理知：\(\chi`(G)=6\)
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