第五章 匹配与因子分解
一、偶图的匹配问题
(一)、图的匹配与贝尔热定理
1、图的匹配相关概念
(1)、匹配 M--- 如果M是图G的边子集(不含环），且M中的任意两条边没有共同顶点，则称M是G的一个匹配或对集或边独立集。
如果G中顶点v是G的匹配 M中某条边的端点，称它为M饱和点，否则为M非饱和点。
(2)、最大匹配 M--- 如果M是图G的包含边数最多的匹配，称M是G的一个最大匹配。特别是，若最大匹配饱和了G的所有顶点，称它为G的一个完美匹配。
注：1、一个图G不一定存在完美匹配；
2、一个图G的完美匹配若存在，不一定唯一；
3、一个图G的最大匹配不一定唯一。
(3)、M交错路--- 如果M是图G的匹配，G中一条由M中的边和非M中的边交错形成的路，称为G中的一条M交错路。特别地，若M交错路的起点与终点是M非饱和点，称这种M交错路为M可扩路。
2、贝尔热定理
定理1 (贝尔热，1957) G的匹配M是最大匹配，当且仅当G不包含M可扩路。
注：贝尔热定理给我们提供了扩充G的匹配的思路。
(二)、偶图的匹配与覆盖
1、问题的提出
2、偶图匹配存在性判定----Hall定理
定理2 (Hall定理）设G=(X, Y)是偶图，则G存在饱和X每个顶点的匹配的充要条件是：对\(\forall S \subseteq X\),有\(|N(S)|\geq|S|...(*)\)
其中，\(N(S)\)表示S的邻点集
注: (1) G=(X,Y) “饱和X每个顶点的匹配”也常说成“存在由X到Y的匹配”。
(2) Hall定理也可表述为：设G=(X,Y)是偶图，如果存在X的一个子集S,使得|N(S)| < |S| ，那么G中不存在由X到Y的匹配。
(3) Hall定理也称为“婚姻定理”，表述如下：
“婚姻定理” ：在一个由r个女人和s个男人构成的人群中，1≦r≦s。在熟识的男女之间可能出现r对婚姻的充分必要条件是，对每个整数k(1≦k≦r),任意k个女人共认识至少k个男人。
(4) Hall定理是在偶图中求最大匹配算法的理论基础，即匈牙利算法基础。
推论：若G是k (k>0)正则偶图，则G存在完美匹配。
(1) 证明：每个k方体都有完美匹配(k大于等于2)
k方体是k正则偶图，故存在完美匹配
(2) 求K2n和Kn,n中不同的完美匹配的个数。
\(K_{2n}\)不同的完美匹配的个数为\((2n-1)!!\)，\(K_{n,n}\)不同的完美匹配的个数为\(n!\)
(3)证明树至多存在一个完美匹配。
证明：若不然，设M1与M2是树T的两个不同的完美匹配，那么\(M_1\Delta M_2 \neq \phi\)，且\(T[M_1\Delta M_2]\)每个顶点度数为2，即它存在圈，于是推出T中有圈，矛盾。
3、点覆盖与哥尼定理
(1)、图的点覆盖概念与性质
定义1：图的点覆盖 ---G的一个顶点子集K称为G的一个点覆盖，如果G的每条边都至少有一个端点在K中。G的一个包含点数最少的点覆盖称为G的最小点覆盖，其包含的点数称为G的覆盖数，记为α(G).
定理2 设M是G的匹配，K是G的覆盖，若|M|=|K|,则M是最大匹配，而G是最小覆盖。
(2)、偶图的点覆盖与偶图匹配间的关系----哥尼定理
定理2 (哥尼，1931) 在偶图中，最大匹配的边数等于最小覆盖的顶点数。
二、图的因子分解
研究图的因子分解主要是两个方面：一是能否进行分解(因子分解的存在性),二是如何分解(分解算法).
(一)、托特定理
定理 (托特定理，1947) 图G有完美匹配当且仅当对V的任意非空真子集S, 有：
其中，\(o(G-s)\)表示奇分支数目,（奇分支是阶数为奇的连通分支）
推论 (彼得森定理) 没有割边的3正则图存在完美匹配。
注：推论中的条件是G存在完美匹配的充分条件而不是必要条件
(二)、图的一因子分解
所谓一个图G的因子\(G_i\)，是指至少包含G的一条边的生成子图。
所谓一个图G的因子分解，是指把图G分解为若干个边不重的因子之并。
所谓一个图G的n因子，是指图G的n度正则因子。
如果一个图G能够分解为若干n因子之并，称G是可n因子分解的。
图的一个一因子实际上就是图的一个完美匹配的导出子图。一个图能够作一因子分解，也就是它能够分解为若干边不重的完美匹配的导出子图之并。
定理1 \(K_{2n}\)可一因子分解。
(作图)
例2 证明：每个k (k>0)正则偶图G是一可因子分解的。
证明：因为每个k (k>0)正则偶图G存在完美匹配，设Q是它的一个一因子，则G-Q还是正则偶图，由归纳知，G可作一因子分解。
定理2 具有H圈的三正则图可一因子分解。
证明：先从三正则图G中抽取H圈，显然剩下边构成G的一个一因子。而H圈是偶圈，它显然可以分解为两个一因子。所以G可以分解为3个一因子。
定理3 若三正则图有割边，则它不能一因子分解。
证明：若不然，设G的三个一因子为G1,G2,G3。不失一般性，设割边e∈ G1。 显然，G-G2的每个分支必然为圈。所以e在G的某个圈中，这与e是G的割边矛盾。
注：没有割边的三正则图可能也没有一因子分解，如彼得森图就是如此！尽管它存在完美匹配。
(三)、图的二因子分解
如果一个图可以分解为若干2度正则因子之并，称G可以2因子分解。注意：G的一个H圈肯定是G的一个2因子，但是G的一个2因子不一定是G的H圈。2因子可以不连通。
一个显然结论是：G能进行2因子分解，其顶点度数必然为偶数。(注意，不一定是欧拉图)
定理4 \(K_{2n+1}\)可因子分解。
定理5 \(K_{2n}\)可分解为一个1因子和n-1个2因子之和。
定理6 每个没有割边的3正则图是一个1因子和1个2因子之和。
定理7 一个连通图可2因子分解当且仅当它是偶数度正则图。
(四)、图的森林因子分解
把一个图分解为若干边不重的森林因子的和，称为图的森林因子分解。
三、匈牙利算法与最优匹配算法
(一)、匈牙利算法
(1)、问题
设G=(X, Y), |X|=|Y|, 在G中求一完美匹配M.
(2)、基本思想
从任一初始匹配M0出发，通过寻求一条M0可扩路P，令M1=M0ΔE(P), 得到比M0更大的匹配M1(近似于迭代思想)。
M可扩路寻找方法---交错树方法
(3)、算法流程
设M是初始匹配。H是扎根于M非饱和点u的交错树。令：S=V(H)∩X, T=V(H)∩Y。
(a) 、若M饱和X所有顶点，停止。否则，设u为X中M非饱和顶点，置S=｛u｝,T=Φ;
(b) 、若N(S)=T, 则G中不存在完美匹配。否则设 y ∈N(S) – T.
(c ) 若y为M饱和点，且y z ∈M, 置S=S∪｛z｝, T=T∪｛y｝,转(b)。否则，设P为M可扩路，置M1=MΔE(P)，转(a).
(4)、求偶图最大匹配
分析：使用匈牙利算法求完美匹配时，当在扎根于M非饱和点u的交错树上有|N(S)|<|S|时，由Hall定理，算法停止。要求出最大匹配，应该继续检查X-S是否为空，如果不为空，则检查是否在其上有M非饱和点。一直到所有M非饱和点均没有M可扩路才停止。
(二)、最优匹配算法(库恩算法)
1 、问题
设G=(X, Y)是边赋权完全偶图，且X=｛x1, x2,…,xn｝Y=｛y1, y2,…,yn｝, wij=w(xiyj)。在G中求出一个具有最大权值的完美匹配，称为最优匹配。
2 、可行顶点标号与相等子图
定义2 设G=(X, Y), 若对任意的x ∈X, y ∈Y,有：\(l(x)+l(y)\geq w(xy)\)， 称 l 是赋权完全偶图G的可行顶点标号。
事实上，设：
则 l 是G的一个可行顶点标号。
定义3 设 l 是赋权完全偶图G=(X, Y)的可行顶点标号，令：\(E_l=\{ xy\in E(G)|l(x)+l(y)=w(xy)\}\)， 称\(G_l=G[E_l]\)为G的对应于l 的相等子图。
定理 设 l 是赋权完全偶图G=(X, Y)的可行顶点标号，若相等子图\(G_l\)有完美匹配M*,则M*是G的最优匹配。
证明：设M*是\(G_l\)的完美匹配，则：
又设M是G的任一完美匹配，则：
所以，w (M*)≥w (M)。即M*是G的最优匹配。
3、算法思想及流程
采用顶点标号修改策略。流程如下：
给一初始顶点标号l ,在G\(G_l\)任选一个匹配M。
(1) 若X是M饱和的，则M是最优匹配。否则，令u是一个M非饱和点，置：S=｛u｝,T=Φ。
(2) 若\(N_{G_l}(S)\supset T\) ，转(3)。否则，计算：\(\alpha _l=\min\limits_{x\in S\\y\notin T}\{l(x)+l(y)-w(xy)\}\)
给出新的可行顶点标号，在新标号下重新开始。
(3) 在\(N_{G_l}(S)-T\)中选择点y。若y是M饱和的，yz ∈M,则置S=S∪｛z｝,T=T∪｛y｝转(2)。否则，设P是\(G_l\)中M可扩路，置M=MΔE(P),转(1).
注：该算法把匈牙利算法用于其中，主要是用来判定和求完美匹配。
总结：常用符号
\(\alpha(G)\) 表示图\(G\)的覆盖数，为G的最小点覆盖包含的点数
总结：常用性质定理
1、贝尔热定理
G的匹配M是最大匹配，当且仅当G不包含M可扩路
2、偶图匹配存在性判定----Hall定理
G=(X, Y)是偶图，则G存在饱和X每个顶点的匹配的充要条件是：
对$\forall S \subseteq X \(,有\)|N(S)|\geq|S|...(*)$
其中，\(N(S)\)表示S的邻点集
3、哥尼定理
在偶图中，最大匹配的边数等于最小覆盖的顶点数
4、托特定理
图G有完美匹配当且仅当对V的任意非空真子集S, 有：
其中，\(o(G-s)\)表示奇分支数目,（奇分支是阶数为奇的连通分支）
5、彼得森定理
没有割边的3正则图存在完美匹配
6、匈牙利算法（偶图中求完美匹配以及最大匹配）
7、库恩算法（最优匹配算法）
设G=(X, Y)是边赋权完全偶图，且X=｛x1, x2,…,xn｝Y=｛y1, y2,…,yn｝, wij=w(xiyj)。在G中求出一个具有最大权值的完美匹配。
方法：可行顶点标号----生成子图----匈牙利完美匹配算法----计算权值\(\alpha _l=\min\limits_{x\in S\\y\notin T}\{l(x)+l(y)-w(xy)\}\)----更改相应可行顶\(\hat{l}= \begin{cases}l(v)-\alpha _l,v\in S\\l(v)+\alpha _l,v\in T \\l(v), \quad 其他\end{cases}\),重复
8、其他
定理 设 l 是赋权完全偶图G=(X, Y)的可行顶点标号，若相等子图\(G_l\)有完美匹配M*,则M*是G的最优匹配。
总结：一些结论
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一个图G不一定存在完美匹配。一个图G的完美匹配若存在，不一定唯一。一个图G的最大匹配不一定唯一
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若G是k (k>0)正则偶图，则G存在完美匹配。
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每个k方体都有完美匹配(k大于等于2)
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\(K_{2n}\)不同的完美匹配的个数为\((2n-1)!!\)，\(K_{n,n}\)不同的完美匹配的个数为\(n!\)
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树至多存在一个完美匹配
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有完美匹配的三正则图不一定没有割边
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三正则哈密尔顿图存在完美匹配，可1-因子分解
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任意非平凡正则偶图包含完美匹配且能够1-因子分解
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\(K_{2n}\)可一因子分解，\(K_{2n+1}\)可2因子分解， \(K_{2n}\)可分解为一个1因子和n-1个2因子之和。
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每个没有割边的3正则图是一个1因子和1个2因子之和
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一个连通图可2因子分解当且仅当它是偶数度正则图
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