集训总结（四）

9.9

P5522 棠梨煎雪

挑题的时候 qk 说这是线段树优化状压 dp，写完后看了看自己的代码，线段树？我怎么没有啊？状压 dp？我怎么没有啊？

考虑区间 \([l,r]\) 字符串每一位对答案造成的影响，设考虑到第 \(k\) 位：

1.第 \(k\) 位有 \(0\) 有 \(1\)：此时无论 \(S\) 是什么，都不可能有贡献，答案为 \(0\)。
2.第 \(k\) 位有 \(0\) 或 \(1\)：此时 \(S\) 的第 \(k\) 位也只能是 \(0\) 或 \(1\)，答案不变。
3.第 \(k\) 位全为 \(?\)：此时 \(S\) 的第 \(k\) 位 \(01\) 均可，根据乘法原理，答案 \(\times 2\)。

发现我们只需要维护区间某一位的 \(01\) 个数，于是我们对每一位的 \(0\) 和 \(1\) 个数都单独开一棵树状数组，由于 \(n\) 很小，所以我们可以直接暴力枚举，判断当前位 \(0\) 和 \(1\) 的个数即可。

复杂度 \(O(qnlogm)\) 但常数很小，没怎么卡就过了。

要永远相信树状数组的速度！！！

P7475 简易输入法

扫码了，卡我树套树空间。

对所有字符串建立字典树，跑一遍 \(dfs\)，跑出 \(dfn\) 序，将树上问题转化为了序列问题，然后这就是一个裸的树套树板子了，直接上树状数组套权值线段树即可。

9.10

坏消息：模拟赛挂分了。
好消息：10元幸运奖抽到我了。

P2824 排序

发现直接排序有点难搞，考虑怎么转化。

发现我们只关心最终查询位置上的值，考虑对那个位置二分答案。设此时 \(check\) 的数是 \(k\)，我们将所有大于等于 \(k\) 的数化为 \(1\)，将所有小于 \(k\) 的数设为 \(0\)，这样我们就将序列转化成了 \(01\) 序列。此时我们再看操作，相当于是找到区间 \(01\) 的分界点，然后区间推平，\(ODT\)/线段树维护一下就好了。

9.11

P13925 联合猫国

考虑 dp，枚举左端点 \(j\) 和右端点 \(i\)，如果 \(i\) 到 \(j\) 可以合并就 \(dp_j+1 \to dp_i\)。

考虑固定 \(i\) 时如何快速枚举 \(j\)。注意到假设相邻两个合法的 \(j\) 分别为 \(k'\)，\(k\)，那么必有从 \(k'\) 到 \(k−1\) 合法且这一段合并的结果与 \(k\) 到 \(i\) 相等。

于是用一种类似倍增的方法，记录可以从哪里过来。容易发现这样复杂度是对的。最劣的情况大概是全相等的时候，转移次数 \(O(nlogn)\)。

P2774 方格取数问题

题目的限制条件相当于选了一个数，四周的数就不能选。将每个点拆成入点和出点，初始从点 \(s\) 向入点连 \(a_{i,j}\) 的边，从出点向 \(t\) 连 \(a_{i,j}\) 的边。对于每个点，四周的点不能选，就从这个点的入点向四周的出点连一条 \(inf\) 的边，之后跑最小割就可以了。

P2764 最小路径覆盖问题

最小路径覆盖=总点数-最大匹配。

跑匈牙利，记录一下每个点的前驱就可以了。