[题解] Topcoder 15279 SRM 761 Div 1 Level 3 SpanningSubgraphs DP,容斥
题目
考虑DP。\(f(msk,i)\) 表示集合 \(msk(一定包含0号点)\) ,选了恰好i条边的连通方案数。转移用容斥,用这个点集内部所有连边方案减去不连通的。令\(|e_{msk}|\)表示两个端点都在集合msk内的边数,D为\(e_{\complement_{msk}sub}\)(sub在msk中补集内部的边集)。转移式:\(f(msk,i)=\binom{|e_{msk}|}{i}-\sum_{sub \in msk,0 \in sub,0 \leq j \leq i} f(sub,j)\cdot \binom{|D|}{i-j}\),其中sigma是枚举不连通情况中0号点所在的连通块。直接转移是\(O(3^nm^2)\)的,考虑优化。
我们枚举msk,现在需要计算\(f(msk,*)\)的值。观察转移式,后面一部分是\(\sum_{sub \in msk,0 \in sub,0 \leq j \leq i} f(sub,j)\cdot \binom{|D|}{i-j}\),枚举到\(f(sub,j)\)的时候,集合sub中的j条边已经确定要选了,我们现在要做的事就是依次决定sub外的\(|D|\)条边中哪些要选,如果有k条边选,就转移到\(f(msk,j+k)\)。
所以可以令\(g(i,j)\)表示已经有i条边确定要选,还有j条边“排队等待”决定。枚举所有可能转移到\(f(msk,*)\)的\(f(sub,j)\),让\(g(j,|D|)+=f(sub,j)\)。然后对\(g\)数组再做一次DP:
两个转移分别代表一条待定边选或不选。注意转移g的时候j要从大到小枚举。最后我们让\(f(msk,i)-=g[i][0]\)就行了。总复杂度\(O(3^nm+2^nm^2)\),常数很小可以通过。
注意自环的处理。
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#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
#define repn(i,n) for(int i=1;i<=n;++i)
#define LL long long
#define pii pair <LL,LL>
#define fi first
#define se second
#define mpr make_pair
#define pb push_back
using namespace std;
const LL MOD=1000000007LL;
LL qpow(LL x,LL a)
{
LL res=x,ret=1;
while(a>0)
{
if((a&1)==1) ret=ret*res%MOD;
a>>=1;
res=res*res%MOD;
}
return ret;
}
LL n,m,in[33000],f[17000][210],g[210][210],fac[210],inv[210],cc[20];
vector <LL> gg[20];
LL C(LL nn,LL mm){return fac[nn]*inv[mm]%MOD*inv[nn-mm]%MOD;}
struct SpanningSubgraphs
{
vector <int> count(int N,vector <int> A,vector <int> B)
{
fac[0]=1;repn(i,205) fac[i]=fac[i-1]*(LL)i%MOD;
rep(i,203) inv[i]=qpow(fac[i],MOD-2);
n=N;m=A.size();
rep(i,m) if(A[i]!=B[i])
{
gg[A[i]].pb(B[i]);
gg[B[i]].pb(A[i]);
}
LL cnt=0;
rep(i,m) if(A[i]==B[i])
{
++in[1<<A[i]];++cc[A[i]];
if(A[i]==0) ++cnt;
}
repn(i,(1<<n)-1)
{
int lowbit=(i&-i),id=__builtin_ctz(lowbit);
in[i]=in[i^(1<<id)]+cc[id];
rep(j,gg[id].size()) if((i&(1<<gg[id][j]))>0) ++in[i];
}
rep(i,cnt+1) f[0][i]=C(cnt,i);
repn(msk,(1<<(n-1))-1)
{
int lim=in[(msk<<1)|1];
rep(i,lim+2) rep(j,lim+2) g[i][j]=0;
for(int sub=msk;;sub=(sub-1)&msk)
{
if(sub!=msk)
{
rep(i,in[(sub<<1)|1]+1)
(g[i][in[(msk^sub)<<1]]+=f[sub][i])%=MOD;
}
if(sub==0) break;
}
rep(i,lim+1) for(int j=lim;j>0;--j) if(g[i][j]>0)
{
(g[i+1][j-1]+=g[i][j])%=MOD;
(g[i][j-1]+=g[i][j])%=MOD;
}
repn(j,lim) f[msk][j]=(C(lim,j)-g[j][0]+MOD)%MOD;
}
vector <int> ans;
for(int i=n-1;i<=m;++i) ans.pb(f[(1<<(n-1))-1][i]);
return ans;
}
};