[题解] LOJ 3300 洛谷 P6620 [省选联考 2020 A 卷] 组合数问题 数学，第二类斯特林数，下降幂

题目
题目里要求的是：

\[\sum_{k=0}^n f(k) \times X^k \times \binom nk \]

这里面出现了给定的多项式，还有组合数，这种题目的套路就是先把给定的普通多项式转成下降幂多项式。这一步可以做到\(O(mlogm)\)，(模板)但是这题不需要，这个后面再说。假设现在已经得出了f的下降幂多项式的系数\(b_i\)，则：

\[\begin{align} f(k)&=\sum_{i=0}^m b_ik^{\underline i}\\ ans&=\sum_{k=0}^n f(k) \times X^k \times \binom nk\\ &=\sum_{k=0}^n \sum_{i=0}^m b_i k^{\underline i} X^k\frac{n!}{(n-k)!k!}\\ &=\sum_{i=0}^m b_i \sum_{k=i}^n \frac{k!}{(k-i)!}\cdot \frac{n!}{(n-k)!k!}(交换求和符号，k从i开始因为k<i时下降幂的值为0)\\ &=\sum_{i=0}^m b_i \sum_{k=i}^n \frac{(n-i)!}{(k-i)!(n-k)!}\cdot X^{k-i}\cdot 1^{n-k}X^i\cdot n^{\underline i}\\ &=\sum_{i=0}^m b_i \sum_{k=i}^n \binom{n-i}{k-i}\cdot X^{k-i}\cdot 1^{n-k}X^i\cdot n^{\underline i}\\ &=\sum_{i=0}^m b_i (1+x)^{n-i}X_i\cdot n^{\underline i}(二项式定理，这种题的套路)\\ \end{align} \]

\(k^{\underline i}\)表示k的i次下降幂。所以只要求出\(b_i\)就能\(O(m)\)完成计算。

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众所周知 \(x^n=\sum_{i=0}^n S2(n,i) x^{\underline i}\)

所以

\[\begin{align} \sum_{i=0}^m a_i x^i&=\sum_{i=0}^m a_i \sum_{j=0}^i S2(i,j) x^{\underline j}\\ &=\sum_{i=0}^m x^{\underline i} \sum_{j=i}^m a_j S2(j,i)(交换求和符号)\\ \end{align} \]

所以\(b_i=\sum_{j=i}^m a_j S2(j,i)\)。

第二类斯特林数可以暴力\(O(m^2)\)递推：\(S2(n,m)=S2(n-1,m-1)+m \cdot S2(n-1,m)\)。

总时间复杂度\(O(m^2)\)。

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>

#define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
#define repn(i,n) for(int i=1;i<=n;++i)
#define LL long long
#define pii pair <LL,LL>
#define fi first
#define se second
#define mpr make_pair
#define pb push_back

using namespace std;

LL n,x,MOD,m,a[1010],b[1010],s2[1010][1010],ans=0;

LL qpow(LL xx,LL a)
{
	LL res=xx,ret=1;
	while(a>0)
	{
		if((a&1)==1) ret=ret*res%MOD;
		a>>=1;
		res=res*res%MOD;
	}
	return ret;
}

int main()
{
  cin>>n>>x>>MOD>>m;
  rep(i,m+1) scanf("%lld",&a[i]);
  s2[0][0]=s2[1][1]=1;
  for(int i=2;i<=m+3;++i) repn(j,i) s2[i][j]=(s2[i-1][j-1]+s2[i-1][j]*(LL)j)%MOD;
  rep(i,m+1) for(int j=i;j<=m;++j) (b[i]+=a[j]*s2[j][i])%=MOD;
  LL mul=1;
  rep(i,m+1)
  {
    (ans+=b[i]*qpow(1+x,n-i)%MOD*qpow(x,i)%MOD*mul)%=MOD;
    (mul*=(n-i))%=MOD;
  }
  cout<<ans<<endl;
	return 0;
}