ML - Cluster - KMeans

github：kmeans代码实现1、kmeans代码实现2(包含二分k-means)
本文算法均使用python3实现

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1 聚类算法

  对于"监督学习"(supervised learning)，其训练样本是带有标记信息的，并且监督学习的目的是：对带有标记的数据集进行模型学习，从而便于对新的样本进行分类。而在“无监督学习”(unsupervised learning)中，训练样本的标记信息是未知的，目标是通过对无标记训练样本的学习来揭示数据的内在性质及规律，为进一步的数据分析提供基础。对于无监督学习，应用最广的便是"聚类"(clustering)。
  “聚类算法”试图将数据集中的样本划分为若干个通常是不相交的子集，每个子集称为一个“簇”(cluster)，通过这样的划分，每个簇可能对应于一些潜在的概念或类别。
  我们可以通过下面这个图来理解：

  上图是未做标记的样本集，通过他们的分布，我们很容易对上图中的样本做出以下几种划分。
  当需要将其划分为两个簇时，即 k=2$k=2$ 时：

  当需要将其划分为四个簇时，即 k=4$k=4$ 时：

  那么计算机是如何进行这样的划分的呢？这就需要聚类算法来进行实现了。本文主要针对聚类算法中的一种——kmeans算法进行介绍。

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2 kmeans算法

  kmeans算法又名k均值算法。其算法思想大致为：先从样本集中随机选取 k$k$ 个样本作为簇中心，并计算所有样本与这 k$k$ 个“簇中心”的距离，对于每一个样本，将其划分到与其距离最近的“簇中心”所在的簇中，对于新的簇计算各个簇的新的“簇中心”。
  根据以上描述，我们大致可以猜测到实现kmeans算法的主要三点：
  （1）簇个数 k$k$ 的选择
  （2）各个样本点到“簇中心”的距离
  （3）根据新划分的簇，更新“簇中心”

2.1 kmeans算法要点

  （1） k$k$ 值的选择
     k$k$ 的选择一般是按照实际需求进行决定，或在实现算法时直接给定 k$k$ 值。
  （2） 距离的度量
     给定样本 x(i)={x(i)1,x(i)2,,...,x(i)n,}与x(j)={x(j)1,x(j)2,,...,x(j)n,}，其中i,j=1,2,...,m，表示样本数，n表示特征数$x^{(i)}=\{x_1^{(i)},x_2^{(i)},,...,x_n^{(i)},\}与x^{(j)}=\{x_1^{(j)},x_2^{(j)},,...,x_n^{(j)},\}，其中i,j=1,2,...,m，表示样本数，n表示特征数$ 。距离的度量方法主要分为以下几种：
    （2.1）有序属性距离度量（离散属性 {1,2,3}$\{1,2,3\}$ 或连续属性）：
      闵可夫斯基距离(Minkowski distance)：

distmk(x(i),x(j))=(∑u=1n|x(i)u−x(j)u|p)1p$$dis{t}_{mk}(x^{(i)},x^{(j)})=(\sum _{u=1}^n|x_u^{(i)}-x_u^{(j)}{|}^p{)}^{\frac{1}{p}}$$

      欧氏距离(Euclidean distance)，即当 p=2$p=2$ 时的闵可夫斯基距离：

disted(x(i),x(j))=||x(i)−x(j)||2=∑u=1n|x(i)u−x(j)u|2−−−−−−−−−−−−√$$dis{t}_{ed}(x^{(i)},x^{(j)})=||x^{(i)}-x^{(j)}|{|}_2=\sqrt{\sum _{u=1}^n|x_u^{(i)}-x_u^{(j)}{|}^2}$$

      曼哈顿距离(Manhattan distance)，即当 p=1$p=1$ 时的闵可夫斯基距离：

distman(x(i),x(j))=||x(i)−x(j)||1=∑u=1n|x(i)u−x(j)u|$$dis{t}_{man}(x^{(i)},x^{(j)})=||x^{(i)}-x^{(j)}|{|}_1=\sum _{u=1}^n|x_u^{(i)}-x_u^{(j)}|$$

    （2.2）无序属性距离度量（比如{飞机，火车，轮船}）：
      VDM(Value Difference Metric)：

VDMp(x(i)u,x(j)u)=∑z=1k∣∣∣mu,x(i)u,zmu,x(i)u−mu,x(j)u,zmu,x(j)u∣∣∣p$$VD{M}_p(x_u^{(i)},x_u^{(j)})=\sum _{z=1}^k{|\frac{m_{u,x_u^{(i)},z}}{m_{u,x_u^{(i)}}}-\frac{m_{u,x_u^{(j)},z}}{m_{u,x_u^{(j)}}}|}^p$$

      其中 mu,x(i)u$m_{u,x_u^{(i)}}$ 表示在属性 u$u$ 上取值为 x(i)u$x_u^{(i)}$ 的样本数， mu,x(i)u,z$m_{u,x_u^{(i)},z}$ 表示在第 z$z$ 个样本簇中属性 u$u$ 上取值为 x(i)u$x_u^{(i)}$ 的样本数， VDMp(x(i)u,x(j)u)$VD{M}_p(x_u^{(i)},x_u^{(j)})$ 表示在属性 u$u$ 上两个离散值 x(i)u与x(i)u$x_u^{(i)}与x_u^{(i)}$ 的 VDM$VDM$ 距离 。
    （2.3）混合属性距离度量，即为有序与无序的结合：

MinkovDMp(x(i),x(j))=(∑u=1nc|x(i)u−x(j)u|p+∑u=nc+1nVDMp(x(i)u,x(j)u))1p$$MinkovD{M}_p(x^{(i)},x^{(j)})={(\sum _{u=1}^{n_c}|x_u^{(i)}-x_u^{(j)}{|}^p+\sum _{u=n_c+1}^{n}VD{M}_p(x_u^{(i)},x_u^{(j)}))}^{\frac{1}{p}}$$

      其中含有 nc$n_c$ 个有序属性，与 n−nc$n-n_c$ 个无序属性。
    本文数据集为连续属性，因此代码中主要以欧式距离进行距离的度量计算。
  （3） 更新“簇中心”
     对于划分好的各个簇，计算各个簇中的样本点均值，将其均值作为新的簇中心。

2.2 kmeans算法过程

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  输入：训练数据集 D=x(1),x(2),...,x(m)$D=x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(m)}$ ,聚类簇数 k$k$ ;
  过程：函数 kMeans(D,k,maxIter)$kMeans(D,k,maxIter)$ .
  1：从 D$D$ 中随机选择 k$k$ 个样本作为初始“簇中心”向量： μ(1),μ(2),...,,μ(k)${\mu }^{(1)},{\mu }^{(2)},...,,{\mu }^{(k)}$ :
  2：repeat
  3：  令 Ci=∅(1≤i≤k)$C_i=\mathrm{\varnothing }(1\le i\le k)$
  4：  for j=1,2,...,m$j=1,2,...,m$ do
  5：    计算样本 x(j)$x^{(j)}$ 与各“簇中心”向量 μ(i)(1≤i≤k)${\mu }^{(i)}(1\le i\le k)$ 的欧式距离
  6：    根据距离最近的“簇中心”向量确定 x(j)$x^{(j)}$ 的簇标记： λj=argmini∈{1,2,...,k}dji${\lambda }_j=argmi{n}_{i\in \{1,2,...,k\}}{d}_{ji}$
  7：    将样本 x(j)$x^{(j)}$ 划入相应的簇： Cλj=Cλj⋃{x(j)}$C_{{\lambda }_j}=C_{{\lambda }_j}\bigcup \{x^{(j)}\}$ ;
  8：  end for
  9：  for i=1,2,...,k$i=1,2,...,k$ do
  10：    计算新“簇中心”向量： (μ(i))′=1|Ci|∑x∈Cix$({\mu }^{(i)}{)}^{\prime }=\frac{1}{|C_i|}\sum _{x\in C_i}x$ ;
  11：    if (μ(i))′=μ(i)$({\mu }^{(i)}{)}^{\prime }={\mu }^{(i)}$ then
  12：      将当前“簇中心”向量 μ(i)${\mu }^{(i)}$ 更新为 (μ(i))′$({\mu }^{(i)}{)}^{\prime }$
  13：    else
  14：      保持当前均值向量不变
  15：    end if
  16：  end for
  17：  else
  18：until 当前“簇中心”向量均未更新
  输出：簇划分 C=C1,C2,...,CK$C=C_1,C_2,...,C_K$

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  为避免运行时间过长，通常设置一个最大运行轮数或最小调整幅度阈值，若达到最大轮数或调整幅度小于阈值，则停止运行。
  过程如下图：

2.2 kmeans算法分析

  kmeans算法由于初始“簇中心”点是随机选取的，因此最终求得的簇的划分与随机选取的“簇中心”有关，也就是说，可能会造成多种 k$k$ 个簇的划分情况。这是因为kmeans算法收敛到了局部最小值，而非全局最小值。

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3 二分k-means算法

  基于kmeans算法容易使得结果为局部最小值而非全局最小值这一缺陷，对算法加以改进。使用一种用于度量聚类效果的指标SSE(Sum of Squared Error)，即对于第 i$i$ 个簇，其SSE为各个样本点到“簇中心”点的距离的平方的和，SSE值越小表示数据点越接近于它们的“簇中心”点，聚类效果也就越好。以此作为划分簇的标准。
  算法思想是：先将整个样本集作为一个簇，该“簇中心”点向量为所有样本点的均值，计算此时的SSE。若此时簇个数小于 k$k$ ，对每一个簇进行kmeans聚类(k=2$k=2$) ，计算将每一个簇一分为二后的总误差SSE，选择SSE最小的那个簇进行划分操作。

3.1 kmeans算法过程

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  输入：训练数据集 D=x(1),x(2),...,x(m)$D=x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(m)}$ ,聚类簇数 k$k$ ;
  过程：函数 kMeans(D,k,maxIter)$kMeans(D,k,maxIter)$ .
  1：将所有点看做一个簇，计算此时“簇中心”向量：μ(1)=1m∑x∈Dx${\mu }^{(1)}=\frac{1}{m}\sum _{x\in D}x$
  2：while “簇中心”个数h<k$“簇中心”个数h<k$ ：
  3：  for i=1,2,...,h$i=1,2,...,h$ do
  4：    将第 i$i$ 个簇使用 kmeans算法进行划分，其中 k=2$k=2$
  5：    计算划分后的误差平方和 SSEi$SS{E}_i$
  5：  比较 k$k$ 种划分的SSE值，选择SSE值最小的那种簇划分进行划分
  5：  更新簇的分配结果
  5：  添加新的“簇中心”
  18：until 当前“簇中心”个数达到 k$k$
  输出：簇划分 C=C1,C2,...,CK$C=C_1,C_2,...,C_K$

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3.2 二分k-means算法分析

  二分k-means算法不再随机选取簇中心，而是从一个簇出发，根据聚类效果度量指标SSE来判断下一步应该对哪一个簇进行划分，因此该方法不会收敛到局部最小值，而是收敛到全局最小值。

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引用及参考：
[1]《机器学习》周志华著
[2]《机器学习实战》Peter Harrington著
[3]https://blog.csdn.net/google19890102/article/details/26149927

写在最后：本文参考以上资料进行整合与总结，属于原创，文章中可能出现理解不当的地方，若有所见解或异议可在下方评论，谢谢！
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