Cayley-Hamilton 定理简要证明

证明思路来源于 DZYO 发的博客

Cayley-Hamilton 定理:

\(\textbf A\) 是 n阶矩阵,\(f(\lambda)=\det(\lambda\textbf I-\textbf A)\),为其特征多项式,则 \(f(\textbf A)=\textbf0\)

证明:

考虑令 \(\textbf{B}=\lambda\textbf I-\textbf A,\textbf C=\textbf{B}^*\) ,那么有 \(\textbf{BC}=\textbf{CB}=\det(\lambda\textbf I-\textbf A)\textbf I=f(\lambda)\textbf I\)
考虑到 \(\textbf C_{i,j}\) 是关于实数 \(\lambda\)\(n-1\) 次多项式,\(\textbf B_{i,j}\) 是关于实数 \(\lambda\)\(1\) 次多项式,那么可以把 \(\textbf B,\textbf C\) 都拆分成矩阵多项式然后再乘起来,结果是一个 \(n\) 次的矩阵多项式 \(F(\lambda)=f(\lambda)\textbf I\),注意到这个地方多项式乘法的时候需要计算 \(a_i\lambda^i\times b_j\lambda^j\),因此该矩阵多项式是一个矩阵的多项式必须要带入的矩阵 \(\textbf X\) 必须满足 \(\textbf X\)\(a_i,b_i\) 都可以交换才行。
根据上面得到的等式可以推出 \(F_i=f_i\textbf I\) ,由于 \(\textbf A\) 是可以和 \(a_i,b_i\) 交换的,因此可以将 \(\lambda\) 替换成 \(\textbf A\)
于是 \(F(\textbf A)=\textbf0=f(\textbf A)\textbf I\)
\(\Rightarrow f(\textbf A)=0\)
得证

posted @ 2020-03-11 17:08  soroboruo  阅读(250)  评论(0编辑  收藏