Poisson过程

Poisson过程

• 一些知识点汇总，写都写了，所以存一下

时间连续、状态离散的随机过程

齐次泊松过程

\(\{X(t), t \ge 0\}\)代表\([0, t]\)内统计的数量

满足：

\(X(0)=0\)

\[P\{X(t+s)-X(s)=n\}=e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^n}{n!}, n=0,1,... \]

则称它为具有参数\(\lambda > 0\)的Poisson过程

可得性质

\[\begin{array}{c} m_X(t)=E[X(t)]=E[X(t)-X(0)]=\lambda t \\ \sigma^2(t)=D[X(t)]=D[X(t)-X(0)]=\lambda t \\ \\ E[X(t)-X(s)]=D[X(t)-X(s)]=\lambda (t-s) \\ R_X(s,t)=\lambda^2 \cdot ts+\lambda \cdot \min(t,s) \\ B_X(s,t)=\lambda \cdot \min(t,s) \end{array} \]

\(\{T_n, n \ge 1\}\)是\(\{X(t), t \ge 0\}\)对应的时间间隔，它满足参数为\(\lambda\)的指数分布

\[f_{T_n}(t)= \left\{\begin{matrix} \lambda e^{-\lambda t}, t \ge 0 \\ 0, t \lt 0 \end{matrix}\right. \]

非齐次泊松过程

当参数\(\lambda\)变为与\(t\)相关的函数\(\lambda(t)\)

\[m_X(t) = \int_0^t \lambda(s)ds \]

\[P\{X(t+s)-X(s)=n\}=e^{-[m_X(t+s)-m_X(t)]} \cdot \frac{[m_X(t+s)-m_X(t)]^n}{n!} \]

复合泊松过程

\(\{N(t), t \ge 0\}\)为强度为\(\lambda\)的泊松过程，\(\{Y_k,k=1,2,...\}\)为独立同分布随机变量

令\(X(t)=\sum_{k=1}^{N(t)}Y_k,t\ge0\)为复合泊松过程

若\(E(Y_1^2) \lt \infty\)，则\(E[X(t)]=\lambda t E[Y_1]\)，\(D[X(t)]=\lambda t E[Y_1^2]\)