欧拉函数入门

前置芝士——线性筛质数

思路

考虑问题 1~x中有多少个质数

1、首先考虑将质数的倍数都标记为合数（即埃筛），时间复杂度  ， n上限大约在百万左右。

2、考虑时间复杂度优化：

        发现对于合数 6 ，被 质因数 2,3 都筛了一次，造成时间浪费。

        所以指定对于每一个合数只被其最小质因数筛掉。

3、实现：对每个数i，如果i是质数则将它加进质数表；把当前数i（不管是质数还是合数）与目前质数表中每个不超过自己最小质因子的质数的乘积变为合数。

        原因：i 的最小质因子以后会与更大的合数相乘，枚举质数表中的质数超过i的最小质因子没有必要.

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e7+10;
int x;
int prime[N],tot;//已求得质数表
bool isprime[N];//isprime[i]表示 i 是否为质数
int main(){
	cin>>x;
	for(int i=2;i<=x;i++){
		if(!isprime[i]) {//是质数
			prime[++tot]=i;
		}
		for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=x;j++) {
			isprime[i*prime[j]]=1;//标记合数
			if(i%prime[j]==0) break;//重要优化
		}
	}
	//由于每个数至多被筛一次 ，时间复杂度 O(n)
	return 0;
}

欧拉函数

定义

 表示 小于等于 n 与 n 互质的数的个数

特别规定 

欧拉函数计算式

对于 ，考虑计算1~n中不与 n 互质的个数，即 n 质因数倍数

举个栗子，，2的倍数有 2、4、6、8、10、12；3的倍数有3、6、9、12

发现 6 和 12 重复减了，加上。

自然想到容斥原理

由此易得代码实现

int getphi(int x){
	int ans=x;
	for(int i=2;i*i<x;i++){
		if(x%i==0 ){
			ans=ans*(i-1)/i;
			while(x%i==0) x/=i;
		}
	}
	if(x>1) ans=ans*(x-1)/x;
	return ans;
}

欧拉函数性质

一、欧拉函数是积性函数

积性函数：函数 f(x), 对于互质的数 a,b ，满足

证明 ：因为 a,b 互质，所以两者没有相同质因数。由欧拉函数计算式易证。

二、简单性质

(1）若n是质数，φ(n) = n - 1。

(2）若 且p是质数， 则。

(3）若q是质数，且n % q = 0，则 ;  

       若q是质数，且n % q ≠ 0，则

上述结论均可由计算式简单推倒得到，在此不多赘述。

三、重要结论

1、

证明先咕着<-^_^->

2、     d=gcd(a,b)

证明：a 的质因数集合为 A，b 的质因数集合为 B，d 的质因数集合 C 为 

带入欧拉函数计算式得证

四、其他结论

1、设d(n)表示n的约数的个数，则d(n)是积性函数

证明：令 n = AB，且AB互质。设       

d(A) = (x1+1)(x2+1)...(xn+1),    d(B) = (y1+1)(y2+1)...(ym+1)。

因为AB互质，所以所有的p和q肯定都是不同的质因子。

d(A)*d(B) = (x1+1)(x2+1)...(xn+1)(y1+1)(y2+1)...(ym+1) = d(n)。

2、设s(n)表示n的所有约数的和，则s(n)是积性函数。

证明：令 n = AB，且AB互质。设       

重要特性

积性函数均可由线性筛求值

线性筛求欧拉函数

通过上述性质由线性筛得到

void work(int x){
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=x;i++){
		if(!isprime[i]) {
			prime[++tot]=i;
			phi[i]=i-1;//由性质1
		}
		for(int j=1;j<=tot&&prime[j]*i<=x;j++) {
			int fx=prime[j]*i;
			isprime[fx]=1;
			if(i%prime[j]==0) {
				phi[fx]=phi[i]*prime[j];//性质3
				break;
			}
			phi[fx]=phi[i]*(prime[j]-1);//性质3
		}
	}
}

下期预告：欧拉函数常见题型