主席树学习笔记

简介

时间复杂度\(\ logN\) ，空间复杂度\(\ nlogn\)，的一种持久化数据结构
访问历史版本的线段树，限定于修改操作为\(\ log\) 级别

常用操作

通常为权值线段树
1、处理区间问题，利用前缀和思想，将数组依次插入建历史版本。
2、处理大小问题，将数组按大小插入原始下标建 n 个版本。
3、树上问题，dfn 序拍平，并且将当前版本基于父亲版本上
...
常有 $build,insert,query\ $函数

例题

1、板子
为上述第一种类型，权值线段树差分出出现次数

2、P3567
与板子一样的线段树设置，解决要点在于 如果存在一个“众数”的话，左右区间肯定有一个的数字数量大于区间长度的二分之一 ，那就往那边递归，如果两边都没有，就说明没有

3、P2633
主席树结合树剖结构
首先排除强制在线的干扰，实际求 u 到 v 的第 k 小数。
显然在序列上是板子，那就需要树转序列，直接由上述 3
同时我们发现还需要 lca ，所以接着写一个树剖的东西求。
然后我们确定一段区间的值\(\ =val[u]+val[v]-val[lca]-val[father_{lca}]\)
套板子即可

4、P4587
一dao需要一些思考的题
首先并不能直接看出是主席树，先想 \(n^2\) 做法
基于动态规划思想，在一个区间里，我们把区间内的数字从小到大看，已经考虑了前 \(i-1\) 个数，能表示出 \([1,x]\) ，即神秘数为 \(x+1\) ，如果 \(a_i\le x+1\) 那我们可以现在表示 \([1,x+a_i]\) ；否则 就再也不能表示更多，答案为 \(x+1\) ，退出
有了代码：

while(m--){
	int l,r;
	cin>>l>>r;
	sort(a+l,a+r+1);		
	int x=1;
	for(int i=l;i<=r;i++){
		if(a[i]<=x)x+=a[i];
		a[i]=b[i];
	}
	cout<<x<<"\n";
}

发现本质上是区间前缀和，就有了一些主席树的影子（区间和）。
这个时候主播就不会了，怎么判断前缀和是否小于 a[i] 呢，想了二分发现并没有单调性？
使用 观看题解法 恍然大悟，逆向思维，现在假设答案就是 \(ans\)，设 a 数组中小于 ans 的数的和为 \(res\) ，若\(res\ge ans\) 则说明 ans 还可以更新到 \(res+1\) ，就可以用主席树维护和了。

Code:

for(int i=1;i<=n;i++){
	cin>>a[i];
	root[i]=insert(root[i-1],1,inf,a[i]);
}
cin>>m;
while(m--){
	int l,r;
	cin>>l>>r;
	int ans=1;
	while(1){
		int sum=que(root[l-1],root[r],1,inf,1,ans);
		if(sum>=ans)ans=sum+1;
		else break;
	}
	cout<<ans<<"\n";
}

5、Middle
这题主播怎么都调不出来（现在还没调出来）
首先有二分变为判定 x 是否可以为中位数，然后套路把 小于 x 的 设为 -1 ,大于 x 的设为 1 ，求 最大的和是否大于等于 0
怎么用上主席树的？
发现题目还是区间问题，且假如我现在假设 \(a_i\)为中位数，设置了一堆 -1 和 1 ，再假设 \(a_{i+1}\) 的时候实际上只有一个 1 变成了 -1 ，直接满足了主席树的两个使用特点
所以有了建每个版本的思路： 这道题属于常用操作2 ： 按大小排序建立版本 ；插入位置为上一个数的原下标 ； 把值改成 -1。（初始一个 build 函数所有置为 1）
维护什么？
要求最大的和，我们考虑维护最大前缀和，最大后缀和，和
对于 \([a,b],[c,d]\) ，答案是 \([c,d-1]\) 的最大后缀和 + \([b,c]\) 的和 + \([c+1,d]\) 的最大前缀和
tips：query 函数返回值设为结构体，写 merge函数，就只用写一个 query；
但是，主播为啥调不出来。。。。。。

6、美味
异或，考虑按位考虑，常见贪心从高到低先满足能满足的。
假设现在考虑到第 \(i\) 位，更高位能满足的和为 \(ans\)
分类讨论：
如果 \(b\) 在这一为为 \(1\) : 那么我们希望有某个 \(a_i\) 在这一位为 \(0\) ，同时他还得满足更高位的 ans ,得出这一位有贡献当且仅当区间 \([ans-x,ans-x+2^i-1]\) 没有数
同理如果 \(b\) 在这一位为 \(0\) ：有贡献当且仅当区间 \([ans-x+2^i,ans-x+2^{i+1}-1]\) 有数
发现是一段区间的某段值的数字个数，完全符合主席树，套模板