[COCI2016-2017 Contest#7 T6] Klavir 题解

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• 下文中，记弹 \(1\to i\) 的期望弹奏次数为 \(dp_i\)，且 \(dp_1=n\)。
• 记音符串为 \(a_i\)。

Analysis

首先读懂题意，我们发现，对于当前正在弹奏的一段乐曲，有以下两种情况：

• 当前段的某一后缀与前缀相同。
• 当前段的任何后缀都与前缀不同。（当前串是“独立”的串）

第二种情况比较简单，对于第二种情况，那么有：

\[dp_i=dp_{i-1}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\times(dp_i-dp_1+1)+\frac{n-2}{n}\times(dp_i+1) \]

\[\Rightarrow dp_i=n\times dp_{i-1} \]

其中，第一个 \(\frac{1}{n}\) 表示第 \(i\) 个音符直接弹奏正确的期望，\(\frac{1}{n}\times(dp_i-dp_1+1)\) 表示这个音符弹奏错误，但与第一个音符相同的期望，\(\frac{n-2}{n}\times(dp_i+1)\) 表示这个音符弹奏错误，同时与第一个音符不同的期望。

样例三对应的就是这种情况。

3
3
1 2 3 

3
9
27 

接下来讨论第一种情况。

前后缀显然可以用 KMP 预处理处理。

设已经弹奏了 \(1\to i\)，现在要弹奏第 \(i+1\) 个音符。枚举当前弹奏音符 \(j\)。弹错时，需要找到最长的已经弹对的前缀，记为 \(k_j\)，于是有：

\[dp_{i+1}=dp_i+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\times\sum\limits_{j=1}^n(dp_{i+1}-dp_{k_j}+1)(j\neq a_{i+1}) \]

\[\Rightarrow dp_{i+1}=dp_i+n+\sum\limits_{j=1}^n(dp_{i+1}-dp_{k_j})(j\neq a_{i+1}) \]

其中 \(\frac{1}{n}\times\sum\limits_{j=1}^n(dp_{i+1}-dp_{k_j}+1)(j\neq a_{i+1})\) 表示弹错了，但已经弹对前缀 \(1\to k\)，接着从 \(k+1\) 弹到 \(n+1\) 的期望。两层循环跑一下就完了。时间复杂度 \(\mathcal{O}(n\times m^2)\)，实测可过（大概是机子跑得快的原因）。

    dp[1] = n;
    F(i, 1, m) {//弹第 i 个音符
        long long s = 0;
        F(j, 1, n){//枚举弹的音符
            if (j != a[i + 1]) {
                k = fail[i];
                while (k && a[k + 1] != j) k = fail[k];
                if (a[k + 1] == j) ++k;
                s += dp[i] - dp[k];
            }
        }
        dp[i + 1] = (s + n + dp[i]) % mod;
    }

虽然可过，但理论上还是蛮卡的。接下来我们考虑优化。

我们记当前为第 \(i\) 个音符，下一个音符是 \(j\) 时，最终跳到的位置为 \(f_{i,j}\)，那么 \(f_{i,j}\) 和 \(f_{fail_i,j}\) 只有在 \(j=a_{i+1}\) 时是不同的。因此对于 \(dp_{i+1}\) 可以直接继承 \(dp_{fail_{i+1}}\) 的答案，再额外计算 \(j=a_{i+1}\) 的贡献即可。从上面方法中，可以看出 \(j=a_{i+1}\) 的贡献就是 \(n^{i+1}\)。

综上可得：

\[dp_i=dp_{fail_i}+n^i \]

时间复杂度 \(\mathcal{O}(m)\)，算是十分优秀了。

code

#include <bits/stdc++.h>
#define reg register
#define ll long long
#define _min(x, y) ((x) < (y) ? (x) : (y))
#define _max(x, y) ((x) > (y) ? (x) : (y))
#define Min(x, y) ((x) > (y) and ((x) = (y)))
#define Max(x, y) ((x) < (y) and ((x) = (y)))
#define F(i, a, b) for (reg int i = (a); i <= (b); ++i)
#define PF(i, a, b) for (reg int i = (a); i >= (b); --i)
#define For(i, x) for (reg int i = head[(x)]; i; i = net[(i)])
using namespace std;
bool beginning;
inline int read();
const int N = 1e6 + 5, mod = 1e9 + 7;
int n, m, a[N], fail[N];
inline void init() {
    int j = 0;
    F(i, 2, m) {
        while (j and a[j + 1] != a[i]) j = fail[j];
        j += (a[j + 1] == a[i]);
        fail[i] = j;
    }
}
bool ending;
int main() {
    // printf("%.2lfMB\n",1.0*(&beginning-&ending)/1024/1024);
    n = read(), m = read();
    F(i, 1, m) {
        a[i] = read();
    }
    init();
    int t = n;
    F(i, 1, m) {
        a[i] = a[fail[i]] + t;
        if (a[i] >= mod) a[i] -= mod;
        t = 1ll * t * n % mod;
        printf("%d\n", a[i]);
    }
    return 0;
}
inline int read() {
    reg int x = 0;
    reg bool f = 1;
    reg char c = getchar();
    while (!isdigit(c)) {
        f = c ^ 45;
        c = getchar();
    }
    while (isdigit(c)) x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c = getchar();
    return f ? x : -x;
}

特别鸣谢

Macesuted 提供优化思路。/bx