LeetCode 第29题：两数相除

LeetCode 第29题：两数相除

题目描述

给你两个整数，被除数 dividend 和除数 divisor。将两数相除，要求 不使用 乘法、除法和取余运算。

整数除法应该向零截断，也就是截去（truncate）其小数部分。例如，8.345 将被截断为 8 ，-2.7335 将被截断为 -2 。

返回被除数 dividend 除以除数 divisor 得到的 商 。

注意：假设我们的环境只能存储 32 位 有符号整数，其数值范围是 [−2^31, 2^31 − 1] 。本题中，如果商 严格大于 2^31 − 1 ，则返回 2^31 − 1 ；如果商 严格小于 −2^31 ，则返回 −2^31 。

难度

中等

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示例

示例 1：

输入：dividend = 10, divisor = 3
输出：3
解释：10/3 = 3.33333... ，向零截断后得到 3

示例 2：

输入：dividend = 7, divisor = -3
输出：-2
解释：7/-3 = -2.33333... ，向零截断后得到 -2

提示

• -2^31 <= dividend, divisor <= 2^31 - 1
• divisor != 0

解题思路

方法：优化的位运算

使用位运算和减法来实现除法，通过将除法转换为减法并使用位移来优化性能。

关键点：

1. 全程使用负数处理，避免溢出
2. 使用位移优化减法过程
3. 处理特殊情况（最小值、溢出等）
4. 优化符号处理逻辑

具体步骤：

1. 处理特殊情况：
   • 处理除数为±1的情况
   • 处理最小值除以-1的溢出
2. 将问题转化为负数处理：
   • 记录结果符号
   • 转换为负数避免溢出
3. 使用位移和减法计算商：
   • 找到最大的移位次数
   • 累加商的结果
4. 根据符号返回最终结果

时间复杂度：O(log n)
空间复杂度：O(1)

图解思路

位运算过程示意图

步骤	被除数	除数	移位次数	当前商	剩余值
1	-10	-3	1	2	-4
2	-4	-3	0	1	-1
3	-1	-3	0	0	-1

优化策略分析

情况	处理方式	原因	示例
除数为1	直接返回被除数	无需计算	10/1=10
除数为-1	需要处理溢出	最小值变正数会溢出	-2^31/(-1)
普通情况	转为负数处理	避免溢出	7/(-3)=-2

代码实现

public class Solution {
    public int Divide(int dividend, int divisor) {
        // 处理特殊情况
        if (dividend == int.MinValue && divisor == -1) {
            return int.MaxValue;
        }
        if (divisor == 1) {
            return dividend;
        }
        if (divisor == -1) {
            return -dividend;
        }
      
        // 记录符号并转换为负数处理（避免溢出）
        bool isNegative = (dividend > 0) ^ (divisor > 0);
        int a = dividend > 0 ? -dividend : dividend;
        int b = divisor > 0 ? -divisor : divisor;
      
        // 计算结果
        int result = 0;
        while (a <= b) {
            int temp = b;
            int multiple = -1;
          
            // 找到最大的移位次数
            while (temp >= (int.MinValue >> 1) && a <= (temp << 1)) {
                temp <<= 1;
                multiple <<= 1;
            }
          
            a -= temp;
            result += multiple;
        }
      
        // 处理符号
        return isNegative ? result : -result;
    }
}

执行结果

• 执行用时：24 ms
• 内存消耗：26.4 MB

代码亮点

1. 🎯 巧妙使用负数处理避免溢出
2. 💡 高效的位运算优化
3. 🔍 完善的特殊情况处理
4. 🎨 清晰的代码结构和命名

常见错误分析

1. 🚫 没有处理溢出情况
2. 🚫 使用正数处理导致溢出
3. 🚫 位运算边界判断错误
4. 🚫 符号处理逻辑错误

解法对比

解法	时间复杂度	空间复杂度	优点	缺点
减法模拟	O(n)	O(1)	实现简单	效率低
二分查找	O(log n)	O(1)	性能适中	实现复杂
优化位运算	O(log n)	O(1)	性能最佳	需要处理边界

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