【动态规划】子串、子序列问题
应用
应用1：Leetcode 647. 回文子串
题目
解题思路
动态规划
设 \(dp[i][j]\) 表示子串 \(s[i \cdots j]\) 是否是回文子串，若 \(dp[i][j] = True\)，则表示子串 \(s[i \cdots j]\) 是回文子串，否则，它就不是回文子串。假设字符串 \(s\) 的长度为 \(n\)。
边界条件
当子串 \(s[i \cdots j]\) 长度为 \(0\) 时，即空字符串是一个回文子串，因此边界条件如下：
状态转移
对于字符串 \(s\)，我们倒序遍历子串 \(s[i \cdots j]\) 的起始位置 \(i\)，同时使用指针 \(j\)，从位置 \(i + 1\) 开始顺序枚举子串的结束位置。
对于，任意一个子串 \(s[i \cdots j]\) ，存在两种情况，使得它是一个回文串：
-
子串长度为 \(1\)，即 \(i = j\)；
-
子串长度大于 \(1\)，若 \(s[i] = s[j]\)，且它的子串 \(s[i + 1 \cdots j - 1]\) 是一个回文串。
这里需要注意，当子串长度为 \(2\) ，即\(j = i + 1\) 时，它的子串 \(s[i + 1 \cdots j - 1]\) 是一个空串
""。
否则，它就不是一个回文串。
因此，状态转移方程为：
这里，\(\land\) 表示逻辑与运算，\(\lor\) 表示逻辑或运算。
代码
class Solution {
public int countSubstrings(String s) {
int n = s.length();
int result = 0;
boolean [][] dp = new boolean[n][n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
dp[i][i] = true;
result++;
}
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
for (int j = i + 1; j < n; j++ ) {
if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
if (j - i <= 1) {
dp[i][j] = true;
} else {
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];
}
} else {
dp[i][j] = false;
}
if (dp[i][j]) {
result++;
}
}
}
return result;
}
}
简化之后的代码如下：
class Solution {
public int countSubstrings(String s) {
int n = s.length();
int result = 0;
boolean [][] dp = new boolean[n][n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
dp[i][i] = true;
result++;
}
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
for (int j = i + 1; j < n; j++ ) {
if (s.charAt(i) == s.charAt(j) && (j - i <= 1 || dp[i + 1][j - 1])) {
dp[i][j] = true;
result++;
}
}
}
return result;
}
}
应用2：Leetcode 5. 最长回文子串
题目
给你一个字符串 s，找到 s 中最长的 回文 子串。
- 示例 1：
输入：s = "babad"
输出："bab"
解释："aba" 同样是符合题意的答案。
- 示例 2：
输入：s = "cbbd"
输出："bb"
- 提示：
1 <= s.length <= 1000
s 仅由数字和英文字母组成
解题思路
动态规划
回文子串的性质：如果子串 \(s[i] \cdots s[j]\) 是回文子串，子串 \(s[i+1] \cdots s[j-1]\) 一定是回文子串，即去掉首尾的字符后的子串也是回文子串。
例如，\(abccba\) 是回文子串，那么，去掉首尾的字符串之后，\(bccb\) 也是回文子串。
假设字符串 \(s\) 的长度为 \(n\)，设 \(dp[i][j]\) 表示子串 \(s[i] \cdots s[j]\) 是否是回文子串。
边界条件
满足如下条件的子串都是回文子串：
-
空字符串是回文子串；
-
所有长度为 \(1\) 的子串都是回文子串；
这里，解释一下，初始条件里面的空字符为什么是 \(dp[i][i - 1]\)，假设子串 \(s[2:3] = bb\)，那么，它的前一个状态就是 \(s[3:2]\)，即空字符就是 \(dp[i][i - 1]\)。
状态转移
依次枚举所有子串的长度，并枚举子串的左侧边界：
-
如果边界两侧的字符不相等，那么该子串一定不是回文子串；
-
如果边界两侧的字符相等，则当前子串的状态，与去掉首尾字符后的子串的状态相同。
因此，状态转移方程为：
代码
class Solution {
public String longestPalindrome(String s) {
int n = s.length();
if (n == 0) {
return null;
}
boolean [][] dp = new boolean[n][n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
dp[i][i] = true;
// 空字符串也初始化为true，避免"aa"这种被误判
if (i >= 1) {
dp[i][i - 1] = true;
}
}
String result = s.substring(0, 1);
int left = 0, right = n - 1;
int max = 1;
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
for (int j = i + 1; j < n; j++) {
if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];
} else {
dp[i][j] = false;
}
if (dp[i][j] && result.length() < j - i + 1) {
result = s.substring(i, j + 1);
}
}
}
return result;
}
}
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