【动态规划】子串、子序列问题

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  • 应用1：Leetcode 647. 回文子串
    • 题目
    • 解题思路
      • 动态规划
        • 边界条件
        • 状态转移
    • 代码

应用

应用1：Leetcode 647. 回文子串

题目

647. 回文子串

解题思路

动态规划

设 \(dp[i][j]\) 表示子串 \(s[i \cdots j]\) 是否是回文子串，若 \(dp[i][j] = True\)，则表示子串 \(s[i \cdots j]\) 是回文子串，否则，它就不是回文子串。假设字符串 \(s\) 的长度为 \(n\)。

边界条件

当子串 \(s[i \cdots j]\) 长度为 \(0\) 时，即空字符串是一个回文子串，因此边界条件如下：

\[dp[i][i] = true, \ 0 \le i \le n - 1 , j = i \]

状态转移

对于字符串 \(s\)，我们倒序遍历子串 \(s[i \cdots j]\) 的起始位置 \(i\)，同时使用指针 \(j\)，从位置 \(i + 1\) 开始顺序枚举子串的结束位置。

对于，任意一个子串 \(s[i \cdots j]\) ，存在两种情况，使得它是一个回文串：

• 子串长度为 \(1\)，即 \(i = j\)；

• 子串长度大于 \(1\)，若 \(s[i] = s[j]\)，且它的子串 \(s[i + 1 \cdots j - 1]\) 是一个回文串。

  这里需要注意，当子串长度为 \(2\) ，即\(j = i + 1\) 时，它的子串 \(s[i + 1 \cdots j - 1]\) 是一个空串 ""。

否则，它就不是一个回文串。

因此，状态转移方程为：

\[dp[i][j] = \begin{cases} (s[i] == s[j]) \land (j - i <= 1 \lor dp[i + 1][j - 1]) , & i \lt j\\ false, & otherwise \end{cases} \]

这里，\(\land\) 表示逻辑与运算，\(\lor\) 表示逻辑或运算。

代码

class Solution {
    public int countSubstrings(String s) {
        int n = s.length();
        int result = 0;
        boolean [][] dp = new boolean[n][n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            dp[i][i] = true;
            result++;
        }

        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = i + 1; j < n; j++ ) {
                if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
                    if (j - i <= 1) {
                        dp[i][j] = true;
                    } else {
                        dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];
                    }
                } else {
                    dp[i][j] = false;
                }

                if (dp[i][j]) {
                    result++;
                }
            }
        }
        return result;
    }
}

简化之后的代码如下：

class Solution {
    public int countSubstrings(String s) {
        int n = s.length();
        int result = 0;
        boolean [][] dp = new boolean[n][n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            dp[i][i] = true;
            result++;
        }

        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = i + 1; j < n; j++ ) {
                if (s.charAt(i) == s.charAt(j) && (j - i <= 1 || dp[i + 1][j - 1])) {
                    dp[i][j] = true;
                    result++;
                }
            }
        }
        return result;
    }
}

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