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一 写在开头
1.1 本文内容
本文内容为《组合数学》课程的第二部分，递推关系与母函数。这部分的内容分解图如下。
二 递推关系的定义与求解
2.1 递推关系的定义
递推关系的隐式定义为对于数列\(\{a_i \vert i \ge 0\}\)和任意自然数\(n\)，一个关系到\(a_n\)和某些\(a_i(i < n)\)的方程，称为递推关系，记作：
\[F(a_0, a_1, a_2, ..., a_n) = 0
\]
初始条件
\[a_0 = d_0, a_1 = d_1, ..., a_k = d_k
\]
其中初始条件的个数被称为递推关系的阶。
递推关系的显式定义为对于数列\(\{a_i \vert i \ge 0\}\)，把\(a_n\)和其前若干项联系起来的等式对所有\(n \ge k\)均成立，称该等式为\(\{a_i\}\)的递推关系。记作
\[a_n = F(a_{n-1}, a_{n-2}, ..., a_{n-k})
\]
2.2 递推关系的建立
递推关系的建立步骤：
- 第一步：找出第\(n\)项与其前面最近几项的关系
- 第二步：获得最前面几项的具体值，即初值
递推关系的建立实例
实例1：有一个小孩要爬上有\(n\)个台阶的楼梯，他一步可以爬一个台阶或者两个台阶。这个小孩爬上这\(n\)个台阶楼梯的不同方法的数目记作\(a_n\)，则\(a_n\)的递推关系为：
\[a_n = a_{n-1} + a_{n-2}
\]
\[a_1 = 1, a_2 = 2
\]
实例2：在信道上传输由\(a, b, c\)三个字母组成的长为\(n\)的字符串，若字符串中有两个\(a\)连续出现，则信道就不能传输，令\(a_n\)表示信道可以传输的长为\(n\)的字符串的个数，求\(a_n\)满足条件的递推关系，则
\[a_n = 2a_{n-1} + 2a_{n-2}
\]
\[a_1 = 3, a_2 = 8
\]
实例3：把\(n\)个相同的球放入\(k\)个不同的盒子中，每个盒子中的球不少于2个又不多于4个。其不同的放法的数目记作\(a_{n,k}\)，求\(a_{n,k}\)的递推关系。则
\[a_{n, k} = a_{n-2, k-1} + a_{n-3, k-1} + a_{n-4, k-1}
\]
\[a_{2,1} = a_{3, 1} = a_{4, 1} = 1
\]
对于\(n = 0\)或\(n = 1\)或\(n > 4\)，有\(a_{n,1} = 0\)
2.3 递推关系的求解
对于\(r\)阶递推关系的一般形式
\[a_n + c_1(n)a_{n-1} + c_2(n)a_{n-2} + ... + c_r(n)a_{n-r} = e(n)
\]
其中，\(n \ge r, c_r \ne 0\)
若\(e(n) = 0\)，则称其为齐次递推关系式
若\(e(n) \ne 0\)，则称其为非齐次递推关系式
当\(c_i(n) = c_i, (i = 1, 2, ..., r)\)，则称其为常系数递推关系式
对于常系数齐次递推关系式
\[a_n + c_1a_{n-1} + c_2a_{n-2} + ... + c_ra_{n-r} = 0
\]
其中，\(c_r\)不等于0
其特征方程为：
\[m^r + c_1m^{r-1} + c_2m^{r-2} + ... + c_r = 0
\]
若解得其全部互不相等的特征根为\(m_1, m_2, ..., m_i\)，并且其重数分别为\(e_1, e_2, ..., e_i(e_1 + e_2 + ... + e_i = r)\)，则递推关系式对应\(m_i\)部分的通解是：
\[H_i(n) = (B_0 + B_1 \cdot n + ... + B_{e_i- 1} \cdot n^{e_i-1})m_i^n
\]
从而，该常系数齐次递推关系式为：
\[a_n = H_1(n) + H_2(n) + ... + H_i(n)
\]
对于非齐次常系数递推关系式
\[a_n + c_1a_{n-1} + c_2a_{n-2} + ... + c_ra_{n-r} = f(n)
\]
其解为对应的其次常系数递推关系式的通解\(\bar{a_n}\)加上该非齐次常系数递推式的特解\(a_n^*\)，即：
\[a_n = \bar{a_n} + a_n^*
\]
而非齐次递推关系式
\[a_n + c_1a_{n-1} + c_2a_{n-2} + ... + c_ra_{n-r} = f(n)
\]
特解的常见形式有：
- 当\(f(n) = b\)时，\(a_n^* = An^k\)，其中1是k重特征根
- 当\(f(n) = b^n\)时，\(a_n^* = An^kb^n\)，其中b是k重特征根
- 当\(f(n) = n^s\)时，\(a_n^* = n^k(A_sn^s + A_{s-1}n^{s-1} + ... + A_1n + A_0)\)，其中1是k重特征根
- 当\(f(n) = b^nn^s\)时，\(a_n^* = n^kb^n(A_sn^s + A_{s-1}n^{s-1} + ... + A_1n + A_0)\)，其中b是k重特征根
三 母函数的定义和性质
3.1 母函数的定义
对于数列\(a_0, a_1, ..., a_n, ...\)构造形式幂级数
\[G(x) = a_0 + a_1x + ... + a_nx^n + ... = \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n
\]
则称函数\(G(x)\)是数列\(a_0, a_1, ..., a_n, ...\)的母函数
3.2 母函数的性质
设数列\(\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}\)的母函数分别为
\[A(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n
\]
\[B(x) = \sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n
\]
\[C(x) = \sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n
\]
则有
性质1：若
\[b_n =
\begin{cases}
0 & n < l\\
a_{n-l} & n \ge l
\end{cases}
\]
则
\(B(x) = x^l A(x)\)
性质2：若\(b_n = a_{n+l}\)，则
\[B(x) = x^{-l}\left[ A(x) - \sum_{k = 0}^{l-1}a_kx^k \right]
\]
性质3：若\(a_n = b_n + c_n\)，则
\[A(x) = B(x) + C(x)
\]
性质4：若\(b_n = n \cdot a_n\)，则\(B(x)= x \cdot A'(x)\)
性质5：若
\[a_n = b_0c_n + b_1c_{n-1} + ... + b_kc_{n-k} + ... + b_nc_0 = \sum_{k=0}^{n}b_kc_{n-k}
\]
则
\[A(x) = B(x) \cdot C(x)
\]
3.3 母函数的幂级数展开形式
常用的母函数的幂级数展开式有：
\[\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + ... + x^n + ...
\]
\[\frac{1-x^{n+1}}{1-x} = 1 + x + x^2 + ... + x^n
\]
\[\frac{1}{1-ax} = 1 + ax + a^2x^2 + ... + a^nx^n + ...
\]
\[\frac{1}{1-x^r} = 1 + x^r + x^2r + ... + x^{nr} + ...
\]
\[\frac{1}{(1-x)^n} = 1 + C(n, 1)x + C(n+1, 2)x^2 + ... + C(n+k-1, k)x^n + ...
\]
\[\frac{1}{(1-x)^2} = 1 + 2x + 3x^2 + ... + (n+1)x^n + ...
\]
\[\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 + ... +(-1)^n x^n + ...
\]
\[\frac{1}{(1+x)^n} = 1 - C(n, 1)x + C(n+1, 2)x^2 + ... +(-1)^k C(n+k-1, k)x^k + ...
\]
\[e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + ... + \frac{x^n}{n!} + ...
\]
\[e^{-x} = 1 - \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + ... + (-1)^n\frac{x^n}{n!} + ...
\]
四 用母函数求解递推关系
用母函数来求解递推关系的步骤如下：
- 将递推关系式变成母函数方程
- 求解母函数
- 将母函数变成幂级数形式
比如，有递推关系\(a_n - 2a_{n-1} = 1, a_0 = 0\)，求\(a_n\)。解题过程如下：
\[\begin{equation}
\begin{split}
a_n - 2a_{n-1} = 1\\
\Rightarrow a_nx^n - 2xa_{n-1}x^{n-1} = x^n\\
\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n - 2x \sum_{n=1}^{\infty}a_{n-1}x^{n-1} = \sum_{n=1}^{\infty}x^n\\
\Rightarrow (A(x) - a_0) - 2xA(x) = \frac{1}{1-x} - 1\\
\Rightarrow A(x) = \frac{x}{(1-x)(1-2x)}\\
\Rightarrow A(x) = \frac{-1}{1-x} + \frac{1}{1-2x}\\
\end{split}
\end{equation}
\]
所以，易知解为\(a_n = 2^n - 1\)
五 用母函数求解计数问题
5.1 母函数求解组合数
\(\{M_1 \cdot a_1, M_2 \cdot a_2, ..., M_k \cdot a_k\}\)的\(r\)可重组合的母函数为
\[G(x) = (x^0 + x^1 + ... +x^{M_1})(x^0 + x^1 + ... +x^{M_2})...(x^0 + x^1 + ... +x^{M_k})
\]
则\(x^r\)前的系数就是所求\(r\)可重组合数
当\(M_i = 1\)时，\(\{a_1, a_2, ..., a_k\}\)的\(r\)无重组合数的母函数为
\[G(x) = (x^0 + x^1)^k = (1+x)^k = \sum_{r=0}^{k}C(k, r)x^r
\]
同样，\(x^r\)前的系数就是所求\(r\)无重组合数
当\(M_i = \infty\)时，\(\{\infty \cdot a_1, \infty \cdot a_2, ..., \infty \cdot a_k\}\)的\(r\)可重组合数的母函数为
\[G(x) = (x^0 + x^1 + ... + x^n + ...)^k = \frac{1}{(1-x)^k} = \sum_{r=0}^{\infty}C(k+r-1, r)x^r
\]
同样，\(x^r\)前的系数就是所求
用母函数求解组合数应用举例。
把4个相同的球放入5个不同的盒子里，要求第一、二、三每盒最多不超过1个，第四、五每盒最多不超过2个，求方法数的母函数
\[G(x) = (1+x)^3 \cdot (1 + x + x^2)^2
\]
展开式中\(x^4\)的系数为所求
5.2 母函数求解排列数
对于序列\(a_0, a_1, ..., a_n, ...\)，函数
\[G_e(x) = a_0 + a_1 \frac{x}{1!} + ... + a_n \frac{x^n}{n!} + ...
\]
称为序列\(a_0, a_1, ..., a_n, ...\)的指数型母函数。
与上述的使用母函数求解组合数类似，用母函数求解排列数有如下定理：
令\(S=\{M_1 \cdot a_1, M_2 \cdot a_2, ......, M_k \cdot a_k\}\)，\(h_n\)是\(S\)的\(n-\)排列数，则序列\(h_0, h_1, ......, h_n, ......\)的指数型母函数\(G_e(x)\)为
\[\big(1 + \frac{x}{1!} + ... + \frac{x^{M_1}}{M_1!}\big)\big(1 + \frac{x}{1!} + ... + \frac{x^{M_2}}{M_2!}\big)...\big(1 + \frac{x}{1!} + ... + \frac{x^{M_k}}{M_k!}\big)
\]
因此，当\(n=M_1 + M_2 + ... +M_k\)时，则\(x^n\)的系数为全排列数
\[\tbinom{n}{M_1M_2...M_k}\frac{x^n}{n!}
\]
六 整数拆分问题
将\(n\)个物体全部分配到\(m\)个位置上的问题，根据物体和位置是否有区别可分为：
- 整数的有序拆分（物体相同，位置不同）
- 整数的无序拆分（物体相同，位置相同）
- 集合的有序拆分（物体不同，位置不同）
- 集合的无序拆分（物体不同，位置相同）
6.1 整数的有序拆分
对于整数的有序拆分，若不允许有空位出现，则拆分数\(C_m(n)\)为
\[C_m(n) = \tbinom{n-1}{m-1}
\]
若允许出现空位，则拆分数\(B_m(n)\)为
\[B_m(n) = \tbinom{n+m-1}{n} = \tbinom{n+m-1}{m-1}
\]
6.2 整数的无序拆分
对于整数的无序拆分，若允许有空位，则分配数为下列母函数展开式中\(x^n\)的系数
\[G(x) = \frac{1}{(1-x)(1-x^2)...(1-x^m)}
\]
若不允许有空位，则分配数为下列母函数展开式中\(x^n\)的系数
\[G(x) = \frac{x^m}{(1-x)(1-x^2)...(1-x^m)}
\]
6.3 集合的有序拆分
对于集合的有序划分，若允许有空位，则分配方案数为\(m^n\)。
若不允许有空位，则分配方案数为
\[\sum_{k=0}^n(-1)^k\tbinom{n}{k}(n-k)^m
\]
6.4 集合的无序拆分
对于集合的无序划分，若允许有空位存在，则分配方案数为
\[\sum_{i=1}^{min(n,m)}\frac{1}{i!}\sum_{k=0}^i(-1)^k\tbinom{i}{k}(i-k)^n
\]
若不允许空位的存在，则分配方案数为
\[\frac{1}{m!}\sum_{k=0}^m(-1)^k\tbinom{m}{k}(m-k)^n
\]
